Konvergenzaufgaben richtig? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Fr 04.01.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | 1. Untersuchen sie die folgenden unendlichen Reihen auf Konvergenz!
b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} 2^{-n+(-1)^{n}}
[/mm]
2. Weisen Sie die Konvergenz der (komplexen) Reihe nach!
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{7k+i}{2+10k})^{k} [/mm] |
Hallo,
ich habe zu beiden Aufgaben die Lösungen gemacht, bin mir aber nicht sicher ob sie stimmen. Es wäre sehr nett, wenn das jemand nochmal kommentieren bzw. kontrollieren könnte. Vielen Dank!
Aufgabe 1 b):
1. Idee (meine):
Wurzelkriterium: [mm] \wurzel[n]{2^{-n+(-1)^{n}}}=\wurzel[n]{2^{-n}*2^{(-1)^{n}}}=\bruch{1}{2}*\wurzel[n]{2^{(-1)^{n}}}=\bruch{1}{2}*(2^{(-1)^{n}})^{\bruch{1}{n}}=\bruch{1}{2}*2^{\bruch{(-1)^{n}}{n}}
[/mm]
Und dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}*2^{\bruch{(-1)^{n}}{n}}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Damit konvergiert dann die ganze Folge.
2. Idee (von jemand anderem):
Wurzelkriterium:
[mm] 2^{-n+(-1)^{n}}=2^{-n}*2^{(-1)^{n}}=2^{-n}*2^{-n}=2^{-2n}
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{2^{-2n}}=2^{-2}
[/mm]
Und dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}2^{-2}=\bruch{1}{4}
[/mm]
Konvergiert auch, hat aber einen anderen Grenzwert.
Welches ist nun richtig und wieso?
Aufgabe 2:
Wurzelkriterium:
[mm] \wurzel[k]{(\bruch{7k+i}{2+10k})^{k}}=\bruch{7k+i}{2+10k}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{7k+i}{2+10k}=\bruch{7}{10} [/mm] < 1
Daraus folgt Konvergenz? Ist das so einfach, oder muss ich bei komplexen Reihen noch was beachten? Wie ist das mit dem Betrag beim Wurzelkriterium hier bei der Reihe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anne!
Deine Variante ist richtig! Bei der anderen Version wird falsch umgeformt, denn [mm] $2^{(-1)^n} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] 2^{-n}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Fr 04.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Danke für die schnelle Antwort!
Es hieß das steht im Tafelwerk, als ich gesagt habe, dass das falsch ist, aber ich glaube jetzt auch zu wissen wo der Denkfehler ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Fr 04.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anne!
> Aufgabe 2:
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> Wurzelkriterium:
>
> [mm]\wurzel[k]{(\bruch{7k+i}{2+10k})^{k}}=\bruch{7k+i}{2+10k}[/mm]
Vorsicht! Im Wurzelkriterium steht [mm]|a_n|[/mm], du musst also
[mm] \wurzel[k]{\left|(\bruch{7k+i}{2+10k})^{k}\right|}=\left|\bruch{7k+i}{2+10k}\right|[/mm]
anschauen.
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{7k+i}{2+10k}=\bruch{7}{10} < 1[/mm]
> Daraus folgt Konvergenz? Ist das so einfach, oder muss ich
> bei komplexen Reihen noch was beachten? Wie ist das mit dem
> Betrag beim Wurzelkriterium hier bei der Reihe?
Du musst immer den Betrag nehmen. Zum Glück ändert sich am Ergebnis nichts durch den Betrag. 
Viele Grüße
Rainer
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