Konvergenzbegriff, Metrik < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei (M,d) ein metrischer Raum
h(x,y):= [mm] \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} [/mm] eine weitere Metrik auf M
(x,y [mm] \in [/mm] M)
Ich möchte zeigen dass sich der Konvergenzbegriff für >Folgen nicht ändert |
Ang [mm] x_n [/mm] -> x bez. d , dh [mm] \forall \epsilon>0 \exists n_0 \in \IN [/mm] : [mm] d(x_n [/mm] , x) < [mm] \epsilon
[/mm]
=> [mm] h(x_n, [/mm] x) [mm] \le d(x_n [/mm] ,x) < [mm] \epsilon [/mm]
d.h. [mm] x_n [/mm] -> x bezüglich h.
<= Ang [mm] x_n [/mm] -> x bez. h , dh [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_0 [/mm] : [mm] \frac{d(x_n ,x) }{1+d(x_n ,x)} [/mm] < [mm] \epsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_0
[/mm]
[mm] d(x_n [/mm] , x) < [mm] \epsilon [/mm] + [mm] \epsilon (x_n [/mm] ,x)
Hier stecke ich leider nun..
Frage 2)
Lehrer meinte die Frage würde sich auch beantworten wenn man
h(x,y) = q (d(x,y)) setzt wobei q(t)= [mm] \frac{t}{1+t} [/mm] ist
und zeigt, dass q stetig sowie die Umkehrfunktion stetig ist.
Warum zeigt dies die Behauptung?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Do 11.04.2013 | | Autor: | fred97 |
1. q(t) [mm] \to [/mm] 0 für t [mm] \to [/mm] 0.
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in M und x [mm] \in [/mm] M
2. Gilt [mm] d(x_n,x) \to [/mm] 0, so folgt mit 1. :
[mm] h(x_n,x)=q(d(x_n,x)) \to [/mm] 0.
3. Mit der Umkehrfunktion von q zeige Du nun:
aus [mm] h(x_n,x) \to [/mm] 0 folgt [mm] d(x_n,x) \to [/mm] 0.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Do 11.04.2013 | | Autor: | theresetom |
Danke.
lg
|
|
|
|
