Konvergenzbereich < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Mi 27.04.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Konvergenzbereich bestimmen von:
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot \frac{1}{n^4\cdot 2^{2n}}\cdot x^n$ [/mm] |
Wenn ich nun hier soweit alles durchziehe komm ich auf einen vorläufigen Konvergenzbereich von:
$]-4;4[ [mm] \subset [/mm] K [mm] \subset [/mm] [-4;4]$
Jetzt muss ich ja noch eine Randbetrachtung durchführen. Wie mach ich das da jetz?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Setze nun die Randwerte [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -4$ und [mm] $x_2 [/mm] \ = \ +4$ in die Potenzreihe ein und führe jeweilseine Konvergenzuntersuchung durch.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mi 27.04.2011 | | Autor: | bandchef |
[mm] $x_1=-4: [/mm] $
$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot \frac{1}{n^4\cdot 2^{2n}}\cdot (-4)^n [/mm] $
Mit welche Konvergenzmethode soll ich hier nun weitermachen?
|
|
|
| |
|
Moin bandchef,
> [mm]x_1=-4:[/mm]
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot \frac{1}{n^4\cdot 2^{2n}}\cdot (-4)^n[/mm]
Du kannst bei der Summe so manches vereinfachen und zusammenfassen:
[mm] (-1)^n\cdot \frac{1}{n^4\cdot 2^{2n}}\cdot (-4)^n=\frac{1}{n^4\cdot \left(2^2\right)^n}\cdot 4^n=\frac{1}{n^4}, [/mm] wobei [mm] (-1)^n(-4)^n=((-1)*(-4))^n=4^n
[/mm]
Damit solltest du klarkommen.
>
>
> Mit welche Konvergenzmethode soll ich hier nun
> weitermachen?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Do 28.04.2011 | | Autor: | bandchef |
[mm] $x_1=-4:$
[/mm]
$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot \frac{1}{n^4\cdot 2^{2n}}\cdot (-4)^n [/mm] = ... = [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$
[/mm]
Wie geht das dann jetzt weiter? Normalerweise sollte doch hier dann schon das notwendige Kriterium reichen, da ich da ja dann 0 rausbekomme wodurch folgt dass sie für [mm] $x_1$ [/mm] konvergent ist. Was bedeutet das nun für den Rand von [mm] $x_1$? [/mm] Ist [mm] $x_1$ [/mm] mit drin, oder nicht?
Und danach quasi nochmal das gleich nur für [mm] $x_2$? [/mm] Da bekomm ich dann auch konvergenz raus. Wie sieht nur der richtige Konvergenzbereich aus? Welche Auswirkung hat die Konvergenz auf die Ränder?
|
|
|
| |
|
Hallo bandchef,
> [mm]x_1=-4:[/mm]
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot \frac{1}{n^4\cdot 2^{2n}}\cdot (-4)^n = ... = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}[/mm]
>
> Wie geht das dann jetzt weiter? Normalerweise sollte doch
> hier dann schon das notwendige Kriterium reichen, da ich da
> ja dann 0 rausbekomme wodurch folgt dass sie für [mm]x_1[/mm]
> konvergent ist. Was bedeutet das nun für den Rand von [mm]x_1[/mm]?
> Ist [mm]x_1[/mm] mit drin, oder nicht?
Da die Reihe für [mm]x_{1}=-4[/mm] konvergent ist,
ist [mm]x_{1}[/mm] im Konvergenzbereich mit drin.
>
> Und danach quasi nochmal das gleich nur für [mm]x_2[/mm]? Da bekomm
Ja.
> ich dann auch konvergenz raus. Wie sieht nur der richtige
> Konvergenzbereich aus? Welche Auswirkung hat die Konvergenz
> auf die Ränder?
>
Nun, dann ist der Konvergenzbereich
das abgeschlossene Intervall [mm]\left[-4,4\right][/mm].
Gruss
MathePower
|
|
|
|
