Konvergenzbereich Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Fr 24.04.2009 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Geben Sie den Konvergenzbereich der folgenden Reihen an. Wie verhalten sich die Reihen an den Randpunkten des Konvergenzbereichs?
a.) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(x-2)^k}{k}
[/mm]
b.) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] (-1)^(k+1)* [mm] \bruch{(x-1)^k}{k}
[/mm]
c.) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{3k-1}*(x/3)^k [/mm] |
Hallo,
ich habe mal wieder ein mathematisches Problem.
Und zwar bin ich mir bei meinen Lösungen nicht sicher.
Könnte mir da jemand weiterhelfen und zumindest grob sagen, ob ich richtig / falsch gerechnet habe?
Zu a) habe ich den Konvergenzradius [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{1}{k}}{\bruch{1}{k+1}}| [/mm] = [mm] \bruch{k+1}{k} [/mm] und demnach ist der Konvergenzradius 1 für [mm] k->\infty.
[/mm]
D.h. die Reihe konvergiert für alle [mm] x\in [/mm] R mit |x-2|<1 (?).
Jetzt noch die Untersuchung an den Randpunkten.
mit x=-1=> erhält man [mm] \bruch{(-3)^k}{k}
[/mm]
und für x=1 [mm] \bruch{(3)^k}{k}.
[/mm]
Divergiert beides für [mm] k->\infty, [/mm] da als Grenzwert beides mal nicht 0 rauskommt (?)
Bin mir da absolut nicht sicher und belasse es erstmal bei der a.
Danke im Voraus,
Nina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Fr 24.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nina!
> Zu a) habe ich den Konvergenzradius
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{1}{k}}{\bruch{1}{k+1}}|[/mm] = [mm]\bruch{k+1}{k}[/mm] und demnach ist der Konvergenzradius 1 für
> [mm]k->\infty.[/mm]
> D.h. die Reihe konvergiert für alle [mm]x\in[/mm] R mit |x-2|<1 (?).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Soweit okay ...
> Jetzt noch die Untersuchung an den Randpunkten.
>
> mit x=-1=> erhält man [mm]\bruch{(-3)^k}{k}[/mm]
> und für x=1 [mm]\bruch{(3)^k}{k}.[/mm]
Es gilt ja nicht $x \ = \ -1$ , sondern $x \ [mm] \red{-2} [/mm] \ = \ -1$ . Damit ergibt sich als eine "Randreihe":
[mm] $$\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k}$$
[/mm]
Analog am anderen Rand des Konvergenzradius:
[mm] $$\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(+1)^k}{k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}$$
[/mm]
Also ... ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:15 Sa 25.04.2009 | | Autor: | nina1 |
Vielen Dank.
An den Randpunkten des Konvergenzintervalls gilt dann also wie du geschrieben hast
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] 0 => konvergent
und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(1)}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] 0 => auch konvergent.
Dann wären da noch die Aufg. b) und c)...
zu b) der Konvergenzradius wäre dann [mm] |\bruch{\bruch{(-1)^(k+1)}{k}}{\bruch{(-1)^(k+2)}{k+1}}| [/mm] = [mm] \bruch{-(k+1)}{k} [/mm] = -1 für [mm] k->\infty
[/mm]
Demnach konvergiert die Reihe für alle [mm] x\in [/mm] R mit |x-1|<-1
und an den Randpunkten gilt dann [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^(k+1)*(-1)^k}{k} [/mm] = 0 =>konvergent
und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^(k+1)}{k} [/mm] = 0 =>konvergent
(?)
und zu c.) Wäre der Konvergenzbereich 1, d.h. [mm] |\bruch{x}{3}|<1
[/mm]
und für die Randpunkte in dem Bereich gilt wieder beides mal konvergent gegen 0 (?) Stimmt das dann so?
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Hallo nina1,
> Vielen Dank.
>
> An den Randpunkten des Konvergenzintervalls gilt dann also
> wie du geschrieben hast
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] 0 ![[schockiert]](/images/smileys/schockiert.gif "[schockiert]")
Das ist doch Unsinn
Für den Randpunkt $x=1$ hast du obige alternierende Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k}$.
[/mm]
Welches Kriterium bietet sich für alternierende Reihen an? Was ist zu untersuchen? Untersuche das!
> => konvergent
Das stimmt zwar im Ergebnis, ist aber haarsträubend falsch begründet!
>
> und [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(1)}{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] 0 ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wieder grober Unfug, es ist zwar die Folge [mm] $\left(\frac{1}{k}\right)_{k\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge, aber die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ [/mm] ist doch die harmonische Reihe, also das Paradebeispiel einer divergenten Reihe schlechthin!
> => auch konvergent.
völlig daneben!
>
>
> Dann wären da noch die Aufg. b) und c)...
>
> zu b) der Konvergenzradius wäre dann
> [mm]|\bruch{\bruch{(-1)^(k+1)}{k}}{\bruch{(-1)^(k+2)}{k+1}}|[/mm] =
> [mm]\bruch{-(k+1)}{k}[/mm] = -1 für [mm]k->\infty[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wir haben doch hier Beträge !!
> Demnach konvergiert die Reihe für alle [mm]x\in[/mm] R mit
> |x-1|<-1
Überlege mal selbst, was du da geschrieben hast ...
Wie kann denn ein Betrag negativ sein?
>
> und an den Randpunkten gilt dann [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^(k+1)*(-1)^k}{k}[/mm]
> = 0 =>konvergent
>
> und [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^(k+1)}{k}[/mm] = 0
Wieder !!
Bitte nachdenken!!
Für den Randpunkt $x=0$ hast du die Reihe (wenn du's zusammenfasst) [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2k+1}}{k}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{-1}{k}=-\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$
[/mm]
Welche Reihe ist das? Ist die konvergent oder divergent?
> =>konvergent
autsch!
Wie lautet der andere Randpunkt und dementsprechend die Reihe? Wie sieht's da mit der Konvergenz aus?
>
> (?)
>
> und zu c.) Wäre der Konvergenzbereich 1, d.h.
> [mm]|\bruch{x}{3}|<1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Jo, stimmt!
>
> und für die Randpunkte in dem Bereich gilt wieder beides
> mal konvergent gegen 0 (?) Stimmt das dann so?
Nein, du verwechselst ständig den Grenzwert der Folge der Reihenglieder mit dem Grenzwert der Reihe (Reihenwert)
Es gilt $\sum\limits_k a_k$ ist konvergent $\Rightarrow \left(a_k\right)_{k\in\IN}$ ist Nullfolge, dh. aus der Konvergenz der Reihe folgt, dass die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge ist.
Die Umkehrung gilt nicht, wie die harmonische Reihe $\sum\limits_k\frac{1}{k}$ zeigt. Dort ist die Folge der Reihenglieder $\left(\frac{1}{k}\right)_{k\in\IN$ eine Nullfolge, aber die harmonische Reihe $\sum\limits_k\frac{1}{k}$ divergiert
Schaue dir das Ganze nochmal in Ruhe und mit Bedacht an!
LG und viel Erfolg
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 So 26.04.2009 | | Autor: | nina1 |
Ok, habe mir das jetzt nochmal angeschaut und gerechnet, viele Grüße.
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