Konvergenzbeweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Sa 18.06.2011 | | Autor: | BigDeal |
| Aufgabe 1 | | Beweisen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{n!}=0. [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Beweisen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{n!}=0. [/mm] |
In der Musterlösung steht:
Wir wählen ein k [mm] \in \IN [/mm] mit k>2x. Dann gilt für alle [mm] n\ge [/mm] k:
[mm] \bruch{x^n}{n!}=\bruch{x^k}{k!}*\bruch{x^{n-k}}{(k+1)...n} \le \bruch{x^k}{k!}*\bruch{x^{n-k}}{(2x)^{n-k}}=\bruch{x^k}{k!}*2^k*(\bruch{1}{2})^n \to [/mm] 0
offensichtlich gilt:
[mm] \bruch{x^{n-k}}{(2x)^{n-k}}=2^k*(\bruch{1}{2})^n
[/mm]
Kann mir jemand die Gleichheit beweisen? Bzw. erklären wie man das sieht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo BigDeal,
> Beweisen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{n!}=0.[/mm]
> Beweisen Sie
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{n!}=0.[/mm]
>
> In der Musterlösung steht:
>
> Wir wählen ein k [mm]\in \IN[/mm] mit k>2x. Dann gilt für alle
> [mm]n\ge[/mm] k:
>
> [mm]\bruch{x^n}{n!}=\bruch{x^k}{k!}*\bruch{x^{n-k}}{(k+1)...n} \le \bruch{x^k}{k!}*\bruch{x^{n-k}}{(2x)^{n-k}}=\bruch{x^k}{k!}*2^k*(\bruch{1}{2})^n \to[/mm]
> 0
>
> offensichtlich gilt:
> [mm]\bruch{x^{n-k}}{(2x)^{n-k}}=2^k*(\bruch{1}{2})^n[/mm]
>
> Kann mir jemand die Gleichheit beweisen? Bzw. erklären wie
> man das sieht?
Na, Potenzgesetze, das kannst du seit der Mittelstufe ...
[mm]\frac{x^{n-k}}{(2x)^{n-k}}=\frac{x^{n-k}}{2^{n-k}\cdot{}x^{n-k}}=\frac{1}{2^{n-k}}=\frac{1}{2^n\cdot{}2^{-k}}=\frac{2^k}{2^n}=2^k\cdot{}\frac{1}{2^n}=2^k\cdot{}\left(\frac{1}{2}\right)^n[/mm]
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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