Konvergenzbeweis einer Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Mi 15.12.2004 | | Autor: | T000B |
Hi! Ich hab da mal nen Problem mit ner Hausaufgabe, wobei ich allerdings glaube eine Lösung gefunden zu haben. Nur bin ich mir unsicher ob die formulierung und die logischen Schlüssel so in Ordnung sind.
Seien [mm] \{w_{n}\}_{n\in\IN} \subset \IC [/mm] und [mm] \{z_{n}\}_{n\in\IN}\subset \IC [/mm] Folgen mit [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}|w_{n}|^{2}< +\infty [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}|z_{n}|^{2}< +\infty [/mm] . Zeigen Sie, dass dann auch die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}w_{n}\*\overline{z}_{n} [/mm] konvergiert!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Meine Lösungsidee sieht also wie folgt aus:
da ja für komplexe Zahlen die Ungleichung von CAUCHY-SCHWARZ | [mm] \summe_{n=1}^{ m}w_{n}\*\overline{z}_{n}|^{2} \le(\summe_{n=1}^{ m}|w_{n}|^{2})*(\summe_{n=1}^{ m}|z_{n}|^{2}) [/mm] und für [mm] \alpha=\summe_{n=1}^{\infty}|w_{n}|^{2} [/mm] und [mm] \beta=\summe_{n=1}^{ m}|z_{n}|^{2} [/mm] die Abschätzung [mm] \alpha*\beta<+\infty [/mm] gilt, folgt daraus [mm] |\summe_{n=1}^{\infty}w_{n}\*\overline{z}_{n}|^{2} \le\alpha*\beta<+\infty
[/mm]
Und da nur das Produkt zweier konvergenter Reihen wieder eine konvergente Reihe ergibt folgt [mm] \summe_{n=1}^{\infty}w_{n}\*\overline{z}_{n}<+\infty
[/mm]
Ist das so in Ordnung oder hab ich vielleicht irgendwas grundlegendes nicht beachtet??
MfG
T000B
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo T000B!
Also, die Idee müßte stimmen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber da gibt es Kleinigkeiten zu korrigieren/ergänzen:
> Hi! Ich hab da mal nen Problem mit ner Hausaufgabe, wobei
> ich allerdings glaube eine Lösung gefunden zu haben. Nur
> bin ich mir unsicher ob die formulierung und die logischen
> Schlüssel so in Ordnung sind.
>
> Seien [mm]\{w_{n}\}_{n\in\IN} \subset \IC[/mm] und
> [mm]\{z_{n}\}_{n\in\IN}\subset \IC[/mm] Folgen mit [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}|w_{n}|^{2}< +\infty[/mm]
> und [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}|z_{n}|^{2}< +\infty[/mm] . Zeigen
> Sie, dass dann auch die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}w_{n}\*\overline{z}_{n}[/mm]
> konvergiert!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> Meine Lösungsidee sieht also wie folgt aus:
>
> da ja für komplexe Zahlen die Ungleichung von
> CAUCHY-SCHWARZ | [mm]\summe_{n=1}^{ m}w_{n}\*\overline{z}_{n}|^{2} \le(\summe_{n=1}^{ m}|w_{n}|^{2})*(\summe_{n=1}^{ m}|z_{n}|^{2})[/mm]
Die lautet hier dann eigentlich:
[mm] $(\star)$[/mm] [mm]\left(\summe_{n=1}^{ m}|w_{n}\*\overline{z}_{n}|\right)^{2} \le \left(\summe_{n=1}^{ m}|w_{n}|^{2}\right)*\left(\summe_{n=1}^{ m}|\overline{z_{n}}|^{2}\right)[/mm] (ich kenne sie zumindest so, und das ist eine feinere Abschätzung als deine!), wobei man das [mm] $\overline{z_n}$ [/mm] natürlich durch [mm] $z_n$ [/mm] ersetzen darf, da [mm] $|z_n|=|\overline{z_n}|$. [/mm]
> und für [mm]\alpha=\summe_{n=1}^{\infty}|w_{n}|^{2}[/mm] und
> [mm]\beta=\summe_{n=1}^{ m}|z_{n}|^{2}[/mm] die Abschätzung
> [mm]\alpha*\beta<+\infty[/mm] gilt, folgt daraus
> [mm]|\summe_{n=1}^{\infty}w_{n}\*\overline{z}_{n}|^{2} \le\alpha*\beta<+\infty
[/mm]
Okay, aber präziser:
Zunächst hätte ich geschrieben:
Wegen $0 [mm] \le \alpha [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] und $0 [mm] \le \beta [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $0 [mm] \le \alpha \beta [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Weiter folgt damit:
[mm]\left(\summe_{n=1}^{ m}|w_{n}\*\overline{z}_{n}|\right)^{2} \le(\summe_{n=1}^{ m}|w_{n}|^{2})*(\summe_{n=1}^{ m}|z_{n}|^{2})[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm]\summe_{n=1}^{ \infty}|w_{n}\*\overline{z}_{n}| \le \wurzel{\underbrace{\alpha \beta}_{beachte:\; \alpha \beta \ge 0}} \le \alpha \beta < \infty[/mm]
> Und da nur das Produkt zweier konvergenter Reihen wieder
> eine konvergente Reihe ergibt folgt
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}w_{n}\*\overline{z}_{n}<+\infty[/mm]
Hm, du willst wohl mit dem/einem Satz über das Cauchy-Produkt argumentieren? Da verstehe ich jetzt nicht, worauf du hinaus willst.
Ich würde so argumentieren:
Wegen [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}|w_{n}\*\overline{z}_{n}| \le \wurzel{\alpha \beta} \le \alpha \beta < \infty[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm]\summe_{n=1}^{ \infty}|w_{n}\*\overline{z}_{n}|[/mm] konvergiert (da die Folge der Teilsummen beschränkt ist).
Das aber wiederum heißt:
[mm]\summe_{n=1}^{ \infty}w_{n}\*\overline{z}_{n}[/mm] ist absolut konvergent und damit insbesondere konvergent.
Viele Grüße,
Marcel
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