Konvergenzbeweis einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Überprüfen Sie die Konvergenz der nachstehenden Reihen, und bestimmen Sie ggf. ihren Wert:
[mm] \summe_{k=-3}^{\infty} \bruch{1}{2\*3^{k}} [/mm] |
Für den Konvergenzbeweis habe ich zunächst eine Indexverschiebung vorgenommen:
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2\*3^{k}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2\*3^{3}}
[/mm]
Beim Einsetzen von 3 für k im letzten Bruch bin ich mir nicht sicher, ob es nicht -3 heißen müsste (weil ich ja von -3 den Index zu 0 verschiebe), aber ich habe erstmal die 3 genommen.
Daraus folgt dann
= [mm] \bruch{1}{54} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2\*3^{k}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{54} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{3^{k}}
[/mm]
Kann ich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] aus dem hinteren Term ausklammern?
Nun bin ich am Punkt angekommen, an dem ich nicht mehr weiterzurechnen weiß. Für mich ähnelt
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{3^{k}}
[/mm]
einer harmonischen Reihe, die aber ja nicht konvergent sondern divergent wäre. Aus der Aufgabe geht jedoch hervor, dass die Reihe konvergent sein muss. Ich hoffe man versteht meinen Ansatz und kann mir helfen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo FerrariGirl!
Deine Indexverschiebung erschließt sich mir nicht ganz:
[mm] $$\summe_{k=-3}^{\infty}\bruch{1}{2*3^k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2*3^{k-3}} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2*3^k*3^{-3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{27}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{3^k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{27}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{3}\right)^k$$
[/mm]
Und damit hast Du nun eine geometrische Reihe, nicht die harmonische Reihe.
Gruß
Loddar
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Vielen dank für die schnelle Antwort!
Lag tatsächlich schon an der Indexverschiebung... nicht [mm] 3^{3} [/mm] sondern "einfach" [mm] 3^{k-3}... [/mm] Vielen Dank!
Damit hat sich meine Frage erledigt.
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