Konvergenzkriterien.Beweise < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Foto |
Hallo, ich versuche einige Beweise nachvollzuziehen, jedoch klappt das nicht so gut, daher habe ich noch einige Fragen:
1) Majorantenkriterium: Bew.: Da [mm] \summe_{}^{} b_{k} [/mm] konvergiert, gilt nach der Def. der Reihenkonvergenz [mm] \forall \varepsilon>0 \exists k_{0} \forall [/mm] m [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge k_{0}: |\summe_{}^{} b_{k}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Ab diesem [mm] k_{0} [/mm] gilt dann 0 [mm] \le |a_{k}| \le b_{k}, [/mm] also [mm] \summe_{}^{} |a_{k}| \le \summe_{}^{} b_{k} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Ich verstehe nicht warum dass ab diesem [mm] k_{0} [/mm] gilt? Gilt dass nur, weil es in der Definition gilt?
2) Quotientenkrit.: Bew.: Wegen lim sup [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|<1 [/mm] gibt es ein q [mm] \in [/mm] (0,1) und N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|
Damit hat man eine konvergente Majorante gefunden.
Ich verstehe diesen Beqweis gar nicht. Mir ist nicht klar warum es dieses q und N gibt? Wieso [mm] |a_{k}| [/mm] gleich [mm] |\bruch{a_{k}}{a_{k-1}}|*|\bruch{a_{k-11}}{a_{k-2}}|*..*|\bruch{a_{N-1}}{a_{N}}| [/mm] ist. Die weitere Abschätzung danach versteh ich leider auch nicht.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, ich versuche einige Beweise nachvollzuziehen, jedoch
> klappt das nicht so gut, daher habe ich noch einige
> Fragen:
> 1) Majorantenkriterium: Bew.: Da [mm]\summe_{}^{} b_{k}[/mm]
> konvergiert, gilt nach der Def. der Reihenkonvergenz
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists k_{0} \forall[/mm] m [mm]\ge[/mm] n [mm]\ge k_{0}: |\summe_{}^{} b_{k}|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
> Ab diesem [mm]k_{0}[/mm] gilt dann 0 [mm]\le |a_{k}| \le b_{k},[/mm] also
> [mm]\summe_{}^{} |a_{k}| \le \summe_{}^{} b_{k}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> Ich verstehe nicht warum dass ab diesem [mm]k_{0}[/mm] gilt? Gilt
> dass nur, weil es in der Definition gilt?
ich müsste hier mal die genaue Formulierung Eures Majorantenkriteriums
sehen. In einer gewissen Fassung gilt nämlich eh schon [mm] $|a_k| \le b_k$
[/mm]
für alle [mm] $k\,.$ [/mm] Ich nehme an, dass bei Euch etwas über eine Restreihe
[mm] $$\sum_{k=N+1}^\infty a_k$$
[/mm]
in Bezug zu einer konvergenten Reihe
[mm] $$\sum_{k=N+1}^\infty b_k$$
[/mm]
mit [mm] $b_k \ge [/mm] 0$ für alle [mm] $k\,$ [/mm] steht.
Das einzige, was aber da wirklich eingeht, ist ein
![[]](/images/popup.gif) Cauchykriterium für die Konvergenz von Reihen -
vielleicht klären sich alle Deine Fragen, wenn Du das
nachgelesen und nachgelernt bzw. verstanden hast?!
Warum ihr das so bewiesen habt, ist mir unklar (der Beweis scheint mir
aber an sich vollkommen okay) - man kann auch einen relativ harmlosen
Beweis so machen (wissen sollte man unter anderem, dass in [mm] $\IR$ [/mm]
Folgen, die monoton wachsend und nach oben beschränkt sind,
insbesondere konvergieren müssen!):
Sei [mm] $\IK \in \{\IR,\;\IC\}\,$
[/mm]
Sei [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] eine Reihe in [mm] $\IK$ [/mm] und sei [mm] $\sum_{k=0}^\infty b_k$ [/mm] eine konvergente Reihe mit [mm] $|a_k| \le b_k$ [/mm] für alle [mm] $k\,.$ [/mm]
Der Wert [mm] $b:=\sum_{k=0}^\infty b_k=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n b_k\;\;(\ge [/mm] 0)$
ist eine Majorante für DIE FOLGE [mm] $(s_n)_{n=0}^\infty$ [/mm] mit [mm] $s_n:=\sum_{k=0}^n |a_k|\,.$ [/mm] (Man beachte die Betragszeichen um die [mm] $a_k\,$!!)
[/mm]
Weil DIE FOLGE [mm] $(s_n)_n$ [/mm] wachsend ist, ist damit
[mm] $(s_n)_n$ [/mm] konvergent in [mm] $\IR\,.$ [/mm] Das ist aber nichts anderes als die
Aussage, dass die Reihe (=Folge der zugehörigen Teilsummen) [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] absolut konvergiert. Wegen der
Vollständigkeit von [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert damit auch [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$
[/mm]
eigenständig.
Natürlich braucht man hier aber die Kenntnis, dass die absolute
Konvergenz einer Reihe auch ihre Konvergenz nach sich zieht. (Da käme
wieder das oben verlinkte Cauchykriterium ins Spiel!)
Das gilt zwar allgemein etwa in Banachräumen, insbesondere damit in
[mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC\,,$ [/mm] muss aber im allg. nicht gelten - das sei nur mal
nebenher angemerkt!
> 2) Quotientenkrit.: Bew.: Wegen lim sup
> [mm]|\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|<1[/mm] gibt es ein q [mm]\in[/mm] (0,1) und N
> [mm]\in \IN[/mm] mit
[mm] $$(\red{\*})\;\;\;\red{|\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|N.}$$ [/mm]
> Es gilt
> also:
> [mm]|a_{k}|=|\bruch{a_{k}}{a_{k-1}}|*|\bruch{a_{k-11}}{a_{k-2}}|*..*|\bruch{a_{N-1}}{a_{N}}|\le q^{k-N}*|a_{N}|= |\bruch{a_{N}}{q^{N}}|*q^{k}[/mm]
>
> Damit hat man eine konvergente Majorante gefunden.
> Ich verstehe diesen Beqweis gar nicht. Mir ist nicht klar
> warum es dieses q und N gibt? Wieso [mm]|a_{k}|[/mm] gleich
> [mm]|\bruch{a_{k}}{a_{k-1}}|*|\bruch{a_{k-11}}{a_{k-2}}|*..*|\bruch{a_{N-1}}{a_{N}}|[/mm]
> ist. Die weitere Abschätzung danach versteh ich leider
> auch nicht.
Man kann doch "über Kreuz" kürzen (resp. erweitern):
[mm] $$\frac{a}{b}=\frac{a}{\red{c}}*\frac{\red{c}}{b}$$
[/mm]
(sofern $c [mm] \not=0\,.$) [/mm] Das würde hier mehrere Male gemacht:
[mm] $$|a_k|=\left|\frac{a_k}{1}|=\left|\frac{a_k}{\red{a_{k-1}}}*\frac{\red{a_{k-1}}}{1}\right|=\left|\frac{a_k}{\red{a_{k-1}}}*\frac{\red{a_{k-1}}}{\blue{a_{k-2}}}*\frac{\blue{a_{k-2}}}{1}\right|=...$$
Wenn Du das machst, und dann noch $|r*s|=|r|*|s|\,$ anwendest, dann
siehst Du auch, dass oben stehen sollte:
$$|a_{k}|=\underbrace{\left|\bruch{a_{k}}{a_{k-1}}\right|*\left|\bruch{a_{\blue{\mathbf{k-1}}}}{a_{k-2}}\right|*..*\left|\bruch{\overbrace{a_{N\blue{\mathbf{+1}}}}^{\text{beachte die Indexkorrektur} }}{\mathbf{\blue{a_N}}\right|}}_{=:P}\;*\underbrace{\mathbf{\blue{|a_N|}}}_{\text{der Term fehlte bei Dir!}}$$
Das Produkt $P\,$ besteht aber aus $(k-N)\,$ Faktoren, von dem jeder
Faktor gemäß $\;(\red{\*})\;$ halt $< q\,$ ist!
Also nach dem Entfernen schon von einigen Schreibfehlern ist Dir nun
eventuell der zweite Beweis klar, oder? Falls nicht:
Schreib' mal sowas hin für $N=5\,$ und $k=9\,,$ den Rest "abstrakt"
lassen. Vielleicht hilft das, um einen besseren Überblick zu bekommen,
was hier eigentlich gemacht wird! (Ist nicht schwer, eher eine Übungs-
Sache - bzw. ggf. muss Dein Auge dahingehend ein wenig geschult
werden!)
Gruß,
Marcel
[/mm]
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