Konvergenzkriterien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 So 28.10.2007 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Untersuche auf Konvergenz:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}+n*2^{n}}{3^{n}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}+1}
[/mm]
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Wir müssen diese Aufgaben mit Hilfe der verschiedene Konvergenzkriterien (Majorantenkriterium, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium...) lösen.
Welches Kriterium würdet ihr mir bei den jeweiligen Aufgaben empfehlen?
Bei Aufgabe a) habe ich es mit dem Wurzelkriterium versucht. Bin dann aber nur bis [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n^{2}+n*2^{n}} [/mm] gekommen. Wäre ich da auf dem richtigen Weg?
Und bei Aufgabe b) weiss ich überhaupt nicht, welches Kriterium ich anwenden soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Halo jokerose!
Vor Anwendung der Konvergenzkriterien würde ich den Bruch zunächst zerlegen und dann die Teilreihen jeweils separat untersuchen:
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}+n*2^{n}}{3^{n}} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{n^2}{3^n}+\bruch{n*2^{n}}{3^{n}}\right) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^2}{3^n}+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n*2^{n}}{3^{n}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo jokerose!
Verwende hier folgende Abschätzung, die für $n \ > \ 4$ gilt:
[mm] $$\wurzel{n}+1 [/mm] \ < \ [mm] \wurzel{n}+\wurzel{n} [/mm] \ = \ [mm] 2*\wurzel{n} [/mm] \ < \ n$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 So 28.10.2007 | | Autor: | jokerose |
Super.
Vielen Dank für die verständliche Hilfe!
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