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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Mi 09.01.2008 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Konvergieren die Reihen?
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(2n-1)^{2n-1}}{2^{2^{n}}(2n)!}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{e^{n}-e^{-n}}{2}z^{n}
[/mm]
Falls die folgenden beiden konvergieren, bitte auch den Grenzwert angeben:
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{6} [/mm] + [mm] \bruch{i}{5})^{k-1}
[/mm]
d) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4^{k}}{(2k+1)!} [/mm] |
Hallo,
das Thema lässt mich grade nicht in Ruhe und ich hab leider große Probleme...
ich wollte fragen ob ihr mir zu den obigen Aufgaben vielleicht helfen könnt, wie (bzw. mit welchem Konvergenz-Kriterium) ich am besten die Konvergenz nachweisen kann.
Wenn ich den Grenzwert einer Summe berechnen will, kann ich dann den Grenzwert des Summanden bestimmen und schauen wie der sich für die Summe verhält oder wie geh ich da am besten vor?
Ich bin für jede Hilfe total dankbar. Muss bis morgen die Aufgaben lösen und dieses Thema scheint mir nicht so zu liegen.
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Hallo,
zunächst eine Rückfrage zu a)
Da ist nicht ganz klar, wie das mit den Potenzen im Nenner ist, kannst du das nochmal klarer aufschreiben?
zu b)
Das ist ja eine Potenzreihe. Gesucht ist also der Konvergenzradius $R$, so dass die Potenzreihe für $|z|<R$ konvergiert und für $|z|>R$ divergiert
Bestimme dazu [mm] $r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] mit [mm] $a_n=\frac{e^n-e^{-n}}{2}$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] $R=\frac{1}{r}$ [/mm] mit den Festlegungen [mm] $\frac{1}{0}=\infrty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}=0$
[/mm]
Also ganz ähnlich dem Quotientenkriterium
zu c)
Da denke mal an die geometrische Reihe.
Bedenke auch, dass du eine Indexverschiebung machen kannst, vllt ist es dann deutlicher
Es ist [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{6}+\frac{i}{5}\right)^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{6}+\frac{i}{5}\right)^k$
[/mm]
Nun denke wie gesagt an die (unendliche) geometrische Reihe und daran, wann diese konvergent ist...
Eine Formel für ihren Wert kennst du sicher auch 
Das war's erstmal, die d) schau ich mir noch an...
Ach ja, zu deiner anderen Frage:
Der Reihenwert ist der Grenzwert der Partialsummen, also [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{k=0}^Na_k$
[/mm]
Darüber kannst du oftmals den Reihenwert berechnen, v.a. wenn sich das [mm] $a_k$ [/mm] als Partialbruchzerlegung darstellen lässt, zB bei Reihen der Form [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^2-1}$
[/mm]
Die Partialsummen ergeben dann oft schöne Teleskopsummen, in denen sich fast alles weghebt, so dass der Grenzübergang dann einfach wird
Ansonsten immer mal an bekannte Reihen denken, oft an die geometrische...
Aber ein Allheilmittel gibt's wohl nicht - einfach bissl rumprobieren
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Mi 09.01.2008 | | Autor: | MattiJo |
danke für die hilfe, ich habe die potenzen im nenner bei a) korrigiert.
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Hallo,
ich kapiere es immer noch nicht?
Steht da nun bei dem 1.Term im Nenner [mm] $2^{(2n)}$ [/mm] oder [mm] $2^{2^n}$, [/mm] also 2 hoch 2 hoch n?
Im ersten Fall kannst du die Divergenz der Reihe mit dem QK nachweisen, wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Im anderen Fall weiß ich's auch nicht ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Mi 09.01.2008 | | Autor: | MattiJo |
es sind leider tatsächlich 2 hoch 2 hoch n :(
und ich bring es mit dem QK nicht raus:-(
kann man das nicht mit den potenzgesetzen irgendwie überführen?
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Hallo nochmal,
hmm, ich habs nochmal mit dem QK angesetzt bei der (a)
Wenn ich mich nicht grob fahrlässig vertan habe, ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\infty$
[/mm]
[mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{(2n+1)^{2n+1}}{2^{2^{n+1}}\cdot{}(2n+2)!}\cdot{}\frac{2^{2^n}\cdot{}(2n)!}{(2n-1)^{2n-1}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{2^{2^n}}{2^{2^{n+1}}}\cdot{}\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^{2n-1}\cdot{}\frac{(2n+1)^2\cdot{}(2n)!}{(2n)!\cdot{}(2n+1)(2n+2)}$
[/mm]
[mm] $=2^{2^n}\cdot{}\left(1+\frac{2}{2n-1}\right)^{2n-1}\cdot{}... [/mm] \ [mm] \longrightarrow \infty\cdot{}e^2\cdot{}1=\infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Also nach Divergenz nach QK
Aber ohne Gewähr
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Do 10.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachuzipus,
ich habe nur etwas ein klein wenig anders:
Denn mit
[mm] $\frac{2^{2^n}}{2^{2^{n+1}}}=\frac{2^{2^n}}{2^{2*2^{n}}}=\frac{2^{2^n}}{\left(2^{2^n}\right)^2}=\frac{1}{2^{2^n}}$
[/mm]
kommt bei mir eben raus, dass die Reihe konvergiert. Ich muss das aber auch nochmal nachrechnen.
Edit:
Ich erhalte nach Kontrollrechnung nun:
[mm] $=\frac{1}{2^{2^n}}*\left(1+\frac{2}{2n-1}\right)^{2n-1}*\frac{(2n+1)*(2n+1)}{(2n+2)(2n+1)}$
[/mm]
Wenn man nun ganz genau argumentieren will:
Die Folge [mm] $\left(\left(1+\frac{2}{2n-1}\right)^{2n-1}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] ist konvergent gegen [mm] $e^2$, [/mm] also insbesondere beschränkt. Klar ist auch, dass [mm] \frac{(2n+1)*(2n+1)}{(2n+2)(2n+1)} \to [/mm] 1, also ist auch die Folge
[mm] $\left(\frac{(2n+1)*(2n+1)}{(2n+2)(2n+1)}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] beschränkt. Weil [mm] \frac{1}{2^{2^n}} \to [/mm] 0, folgt damit, dass auch [mm] $\frac{1}{2^{2^n}}*\left(1+\frac{2}{2n-1}\right)^{2n-1}*\frac{(2n+1)*(2n+1)}{(2n+2)(2n+1)} \to [/mm] 0$ (immer bei $n [mm] \to \infty$) [/mm] und damit die Konvergenz der Reihe nach dem Quotientenkriterium.
Gruß,
Marcel
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Hi Marcel,
du hast recht, ich wollte auch eigentlich ein "-" in den Exponenten schreiben, hab's dann aber in dem Formelwust übersehen
Das Ding geht gegen 0, also ist die Reihe doch konvergent
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 Do 10.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Hi Marcel,
>
> du hast recht, ich wollte auch eigentlich ein "-" in den
> Exponenten schreiben, hab's dann aber in dem Formelwust
> übersehen
>
> Das Ding geht gegen 0, also ist die Reihe doch konvergent
>
>
> Gruß
> schachuzipus
Hi,
ja, ich hab' nun auch das ganze nochmal nachgerechnet, hätte ja sein können, dass Du den Faktor [mm] $2^{2^n}$ [/mm] irgendwo anders untergebracht hattest und ich das nicht gesehen hätte. Aber ich denke, bei der Aufgabe war es eh der eigentliche Sinn, dass man diese typische (Teil)Folge der "e-Funktion" erkennt. Flüchtigkeitsfehler passieren da jedem Mal, mir sicherlich mehr als Dir
Aber ich habe Mal ausnahmsweise sofort fehlerfrei gerechnet, das sollte ich mir Rot im Kalender anstreichen
Gruß,
Marcel
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> Falls die folgenden beiden konvergieren, bitte auch den
> Grenzwert angeben:
> d) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4^{k}}{(2k+1)!}[/mm]
=[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{2k}}{(2k+1)!}[/mm]
=[mm]\bruch{1}{2}\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
[mm]\bruch{1}{2}*sinh(2)[/mm]
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