Konvergenzkriterien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Fr 28.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
| Aufgabe | [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{n}
[/mm]
|
Hallo,
ich habe die in der Aufgabe angegebene Reihe vorliegen.
Frage ist, ob diese Reihe konvergiert oder divergiert.
Ich hab das mal umgeformt, denn es läuft auf das Majorantenkriterium raus:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{n}(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}}(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1)
[/mm]
Nun soll der Lösung nach die konvergente Majorante [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n\wurzel{n}} [/mm] sein.
Ich habe ewig lange umgeformt und probiert, komme aber auf keine rechnerische Bestätigung dieser Majorante.
____
Meine zweite Frage bezieht sich nur auf logische Folgerungen aus Folgekriterien.
Man nehme das Leibnitzkriterium:
Ist die Folge [mm] a_n [/mm] eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die alternierende Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n
[/mm]
Kann ich auch sagen:
Ist die Folge [mm] a_n [/mm] KEINE monoton fallende Nullfolge, so divergiert die alternierende Reihe?
Besten Dank!
Tobi
...ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tobbeu!
Erweitere Deinen Bruchterm zunächst mit [mm] $\left( \ \wurzel{n+1} \ \red{+} \ \wurzel{n} \ \right)$ [/mm] und klammere anschließend im Nenner [mm] $\wurzel{n}$ [/mm] aus.
Alternativ kannst Du auch Deinen bereits erhaltenen Ausdruck nun mit [mm] $\left( \ \wurzel{1+\bruch{1}{n}} \ \red{+} \ 1 \ \right)$ [/mm] erweitern.
Zu Deiner 2. Frage: meines Erachtens gilt die Umkehrung von Herrn Leibniz nicht. Ich habe aber auch gerade keine entsprechendes Beispiel zur Hand ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Fr 28.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
Danke stimmt, so geht's einfacher ;)
Zum Thema Majoranten-/Minorantenkriterium habe ich gleich noch ein kleines Beispiel:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel[n]{n}}{n}
[/mm]
Meiner meinung nach gilt:
[mm] \bruch{\wurzel[n]{n}}{n} \ge \bruch{1}{n}
[/mm]
Und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] ist denke ich eine divergente Minorante der obigen Reihe. Also müsste die Reihe von der Definition des Minorantenkriteriums her auch divergieren.
Was aber anschaulich nicht so ist, da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n} [/mm] = 1 und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Wo ist hier der Haken?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Fr 28.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
okay das ist richtig ;)
aber was mich verwirrt ist, dass die alternierende Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\bruch{\wurzel[n]{n}}{n} [/mm] ja nach Leibnitz konvergiert, da [mm] \bruch{\wurzel[n]{n}}{n} [/mm] eine Nullfolge ist.
Nach dem Minorantenkriterium gilt aber [mm] |a_n| \ge |b_n| [/mm] und [mm] \summe_{}^{}b_n [/mm] divergiert [mm] \Rightarrow \summe_{}^{}|a_n| [/mm] divergiert auch.
Hier betrachtet man ja die Beträge, und somit ist das Attribut der ALTERNIERENDEN Reihe ja unerheblich im Minorantenkriterium.
Also würde die Reihe nach Leibnitz konvergieren, und nach dem Minorantenkrit. divergieren.
Ich schätze dass das Problem in der Betragssetzung bein Min.krit. liegt, da ich in 3 Büchern je unterschiedliche Definitionen gefunden habe...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tobbeu!
Du hast den Knackpunkt schon selber erkannt: die Betragsstriche. Denn mit den Betragsstrichen weis Du ja die (schärfere) Eigenschaft der absoluten Konvergenz nach.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Fr 28.03.2008 | | Autor: | pelzig |
Wegen der Umkehrung des Leibnizkriteriums...
Gilt auf jeden Fall nicht. Wenn es keine Nullfolge is, isses klar, dann kann es nicht konvergieren. Aber was ist mit der Monotonie? Wenn du z.b. eine monoton fallende Nullfolge hast [mm] ($\Rightarrow$zugehörige [/mm] alternierende Reihe konvergent nach Leibniz) und ne endliche Anzahl von Gliedern am Anfang rumvertauschst (z.B. einfach das erste mit dem zweiten) ist sie i.A. nicht mehr monoton fallend, aber ihre alternierende Reihe trotzdem konvergent, und zwar mit demselben Grenzwert.
Gruß, Robert
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
