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| Aufgabe | Weisen Sie die absolute Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{k} [/mm] * ( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{k})^{k} [/mm] nach.
HINWEIS: [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{k} [/mm] = 1 |
Hallo an alle,
bei dieser Aufgabe habe ich den Tipp bekommen mit dem Wurzelkriterium zu arbeiten [mm] (\summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] konvergiert absolut, wenn ein [mm] q\in \IR [/mm] exisitiert, mit 0<q<1 und folgendes gilt: [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} \le [/mm] q; für alle n [mm] \in \IN [/mm] )
da müsste dann ja stehen: [mm] \wurzel[n]{(-1)^{n} * \bruch{1}{n} * ( \bruch{1}{3} + \bruch{1}{n})^{n}} [/mm]
darf ich die faktoren auseinander ziehen? also das ich dann [mm] \wurzel[n]{(-1)^{n}} [/mm] * [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{10}} [/mm] * [mm] \wurzel[n]{(\bruch{1}{3} + \bruch{1}{n})^{n}} [/mm] habe?
wenn ja, ist das dann das selbe wie -1 * [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{10}} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] ?
wenn ich dann davon versuche den grenzwert zu berechnen komm ich im enteffekt auf [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] , kann das stimmen oder hab ich schon irgendwo einen fehler?
schonmal im vorraus danke für eure hilfe
lg
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Hallo MatheMaexchen,
Du hast einige Ungenauigkeiten in deiner Lösung.
Zunächst ist im Wurzelkriterium gar kein Limes zu sehen.
Indem du aber zeigst, dass der Grenzwert echt kleiner als 1 ist, hast du auch gezeigt, dass ab einem bestimmten n die Forderung des Wurzelkriteriums erfüllt ist. Wichtig: Manchmal existiert vielleicht gar kein Limes. Du hast aber Glück, hier existiert er, und du kannst es so machen, wie du es oben machst.
> bei dieser Aufgabe habe ich den Tipp bekommen mit dem
> Wurzelkriterium zu arbeiten [mm](\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}[/mm]
> konvergiert absolut, wenn ein [mm]q\in \IR[/mm] exisitiert, mit
> 0<q<1 und folgendes gilt: [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|} \le[/mm] q; für
> alle n [mm]\in \IN[/mm] )
> da müsste dann ja stehen: [mm]\wurzel[n]{(-1)^{n} * \bruch{1}{n} * ( \bruch{1}{3} + \bruch{1}{n})^{n}}[/mm]
Das ist (fast) richtig. Du hast die Beträge vergessen, und den Limes:
[mm]\lim_{n\to\infty}\left(\wurzel[n]{\left|(-1)^{n} * \bruch{1}{n} * ( \bruch{1}{3} + \bruch{1}{n})^{n}\right|}\right)[/mm]
Nun kannst du umformen: [mm] (-1)^{n} [/mm] ist entweder 1 oder -1, wenn man allerdings den Betrag darauf anwendet, wird es immer 1:
$= [mm] \lim_{n\to\infty}\left(\wurzel[n]{\left|\bruch{1}{n}\right| * \left|( \bruch{1}{3} + \bruch{1}{n})^{n}\right|}\right)$
[/mm]
Die restlichen Beträge fallen jetzt einfach deswegen weg, weil sowieso alles positiv ist. Nun kannst du auch die Wurzel auseinander ziehen:
$= [mm] \lim_{n\to\infty}\left(\wurzel[n]{\bruch{1}{n}} * \wurzel[n]{\left( \bruch{1}{3} + \bruch{1}{n}\right)^{n}}\right)$
[/mm]
$= [mm] \lim_{n\to\infty}\left(\bruch{1}{\wurzel[n]{n}} * \left( \bruch{1}{3} + \bruch{1}{n}\right)\right)$
[/mm]
So, nun bist du dran. Du weißt, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} [/mm] = 1$ als Tipp in deiner Aufgabenstellung, und [mm] $\left( \bruch{1}{3} + \bruch{1}{n}\right)$ [/mm] konvergiert gegen ..., also darfst du die Grenzwertsätze anwenden.
Gegen was konvergiert also der gesamte Term?
Da das dann echt kleiner als 1 ist, hast du die absolute Konvergenz der Reihe mit dem Wurzelkriterium gezeigt.
Grüße,
Stefan
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ah ok, ersteinmal vielen dank für die schnelle antwort.
ich bin dann jetzt auf den grenzwert [mm] \bruch{1}{3} [/mm] gekommen, was ja auch möglich ist (da größer als 0 und kleiner als 1).
also nochmal vielen dank!
liebe grüße
MatheMäxchen
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