Konvergenzkriterien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Kueken |
Hallo,
ich habe ein Problemchen mit meinem Skript.
Also ich habe hier die ganzen Konvergenzkriterien so z.B. Quotientenkriterium und Wurzelkriterium.
Ich habe das erstmal so verstanden, dass wenn ich eines der Kriterien anwenden kann, dann ist die Reihe konvergent (also falls der Betrag einmal des Quotienten kleiner 1 ist und einmal wenn der Betrag der n-ten Wurzel kleiner 1 ist).
Jetzt hier hier aber weiter: Beide Kriterien sind hinreichend, aber nicht notwendig (ok leuchtet ein) und weiter [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] < 1, [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}<1 [/mm] reicht nicht aus (siehe harmonische Reihe). Ähm.. ist das nicht ein Widerspruch? Also wenn ich mit dem Quotientenkriterium gezeigt hab, dass die Reihe konvegrent ist, dann kann es auch sein, dass sie nicht konvergent ist?
Hoffe mir kann wieder jemand helfen.
Viele Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Sa 02.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
man schr,ibt besser $ [mm] \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Kueken |
Danke dir schonmal für deine Antwort.
Ich versteh das leider nicht so ganz. Was ist denn dann der Unterschied zwischen einer Reihe mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und einer mit [mm] \bruch{1}{n^{2}}. [/mm] Was ist denn dann das q? Und warum darf der Grenzwert nicht 0 sein. Bei beiden Reihen ist doch der Grenzwert der Folge 0 und das muss doch auch sein, damit die Reihe überhaupt konvergiert.
Wäre schön wenn du dazu noch ein paar Sätze schreiben könntest.
Viele Grüße
Kerstin
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Huhu,
leduart meinte 1, nicht 0 
Folgendes:
Du betrachtest ja [mm] $\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|}$.
[/mm]
Nun gibt es zwei Vorgehensweisen:
1.) Du zeigst es gibt ein q<1, so dass [mm] $\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} [/mm] < q$ für fast alle n (das ist meistens das "normale" Quotientenkriterium)
2.) Du zeigst [mm] $\lim_{n\to\infty} \bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} [/mm] < 1$.
Mach dir mal auch klar, warum 2.) [mm] \Rightarrow [/mm] 1.) gilt.
Bei 1.) ist diese q als Zwischenpunkt unbedingt zu beachten, es reicht NICHT aus zu fordern, dass [mm] $\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} [/mm] < 1$ sein soll.
Und genau das ist die Aussage, die dich verwirrt hat!
Und hier kommt auch der Bogen zu 2.)
Würde man nur fordern [mm] $\bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} [/mm] < 1$ so könnte durchaus auch [mm] $\lim_{n\to\infty} \bruch{|a_{n+1}|}{|a_n|} [/mm] = 1$ gelten, nimm als Beispiel [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}$, [/mm] dort weißt du ja, dass die zugehörige Reihe divergiert.
Jetzt etwas klarer?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Kueken |
Hi! Danke dir!
Ja, klarer schon, aber noch nich ganz klar. Ich hab mir die Folge der harmonischen Reihe jetzt mal umgeschrieben mit dem Quotientenkriterium. Da kommt ja raus: [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] Ok, Ich komme beliebig nahe an die 1 ran, also kann ich kein explizites q angeben. Richtig soweit?
Nun hab ich mir [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] auch umgeschrieben mit Quotientenkriterium. Hier kommt jetzt raus: [mm] \bruch{n^{2}}{n^{2}+2n+1} [/mm] Aber hier komme ich doch ebenfalls beliebig nahe an die 1 ran, also kann ich doch auch kein q angeben. Also wo ist hier der Unterschied?
LG
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Sa 02.04.2011 | | Autor: | abakus |
> Hi! Danke dir!
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> Ja, klarer schon, aber noch nich ganz klar. Ich hab mir die
> Folge der harmonischen Reihe jetzt mal umgeschrieben mit
> dem Quotientenkriterium. Da kommt ja raus: [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm]
> Ok, Ich komme beliebig nahe an die 1 ran, also kann ich
> kein explizites q angeben. Richtig soweit?
>
> Nun hab ich mir [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] auch umgeschrieben mit
> Quotientenkriterium. Hier kommt jetzt raus:
> [mm]\bruch{n^{2}}{n^{2}+2n+1}[/mm] Aber hier komme ich doch
> ebenfalls beliebig nahe an die 1 ran, also kann ich doch
> auch kein q angeben. Also wo ist hier der Unterschied?
Im Hinblick auf das Quotientenkriterium eigentlich keiner. Die Reihe [mm] 1/n^2 [/mm] ist zwar konvergent, aber das ist nicht mit dem Quotientenkriterium nachweisbar. Hier führen andere Kriterien (konkret: Existenz einer konvergenten Majorante) zum Ziel.
Gruß Abakus
>
> LG
> Kerstin
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Huhu,
du hattest im ersten Post geschrieben, es sei dir klar, dass das Quotientenkriterium hinreichend aber nicht notwendig ist.
Anscheinend aber nicht, denn das hier ist genau so ein Fall.
[mm] $a_n= \bruch{1}{n^2}$ [/mm] liefert dir zwar eine absolut konvergente Reihe, das Quotientenkriterium dir aber kein Ergebnis.
Das ist genau so ein Fall, warum das Quotientenkriterium nicht notwendig ist!
Liefert dir das Quotientenkriterium 1 ist halt einfach keine Aussage über die Reihe möglich, es kann also alles passieren. Du hast ja nun selbst zwei Beispiele dazu gebracht.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Kueken |
Ah ja klar, es hat Klick gemacht.
Dankeschön, an euch !!! :D
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