Konvergenzkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Olga1234 |
| Aufgabe | Gegeben seien Reihen
[mm] a_{k} [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{\infty} b_{k} [/mm] mit [mm] b_{k} \not= [/mm] 0 für alle k [mm] \in \IN.
[/mm]
1. Beweisen Sie das folgende Konvergenzkriterium: Existiert der Grenzwert L = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{a_{k}}{b_{k}}|
[/mm]
und ist L > 0, so konvergiert die Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_{k} [/mm] genau dann absolut, wenn die Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} b_{k} [/mm] absolut konvergiert. |
Wie nennt sich dieses Konvergenzkriterium?
Und wie könnte man es beweisen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Mo 30.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Die Voraussetzung sagt doch z.B., dass für fast alle k, d.h. für alle [mm]k\ge N[/mm] gilt [mm] $L+1>\left|\frac{a_k}{b_k}\right|\gdw (L+1)|b_k|>|a_k|$. [/mm] Ist nun die Reihe [mm] $\sum_{k\in\IN}b_k$ [/mm] absolut konvergent, dann gilt [mm] $$\sum_{k=1}^\infty|a_k|=\sum_{k=1}^{N-1}|a_k|+\sum_{k=N}^\infty|a_k|\le\sum_{k=1}^{N-1}|a_k|+(L+1)\sum_{k=1}^\infty|b_k|<\infty$$ [/mm] also ist auch [mm] $\sum_{k\in\IN}a_k [/mm] absolt konvergent. Die andere Richtung geht ähnlich.
Gruß, Robert
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