Konvergenznachweis Cauchyfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Mo 19.04.2010 | | Autor: | winston |
Guten Abend,
ich soll die Konvergenz einer Cauchy-Folge nachweisen. Zuerst einmal habe ich den Konvergenznachweis für die Folge 1/n erbracht. Dazu war [mm] \varepsilon [/mm] > 0 vorgegeben. Nach Definition der Cauchy-Folge gilt dementsprechend [mm] |a_m [/mm] - [mm] a_n| [/mm] = |1/m - 1/n| [mm] \le [/mm] |1/m + 1/n|.
Wählt man [mm] n_0 [/mm] > [mm] 2/\varepsilon, [/mm] woraus für alle Ungleichungen 1/m, 1/n [mm] \le 1/n_0 [/mm] gilt und daher [mm] |a_m [/mm] - [mm] a_n| [/mm] = 1/m + 1/n [mm] \le 2/n_0 [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle m, n [mm] \ge n_0.
[/mm]
Damit ist die Folge eine Cauchy-Folge und folglich konvergent.
Meine eigentliche Frage ist nun, wenn die Folge [mm] 1/n^2 [/mm] lautet, ob ich den Nachweis genauso die oben gezeigt erbringen kann und ich nur überall da, wo m bzw. n steht, ich [mm] m^2 [/mm] und [mm] n^2 [/mm] einsetze oder ob ich noch andere Sachen beachten muss.
Hier die Frage nochmal mit einem Formeleditor geschrieben:
http://img80.imageshack.us/img80/25/frage.png
Ich bedanke mich für eure Hilfe schon einmal recht herzlich im Voraus!
Mit freundlichen Grüßen,
Winston
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Konvergenznachweis-einer-Cauchy-Folge
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/262024,0.html
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Hi,
> Guten Abend,
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> ich soll die Konvergenz einer Cauchy-Folge nachweisen.
> Zuerst einmal habe ich den Konvergenznachweis für die
> Folge 1/n erbracht. Dazu war [mm]\varepsilon[/mm] > 0 vorgegeben.
> Nach Definition der Cauchy-Folge gilt dementsprechend [mm]|a_m[/mm]
> - [mm]a_n|[/mm] = |1/m - 1/n| [mm]\le[/mm] |1/m + 1/n|.
> Wählt man [mm]n_0[/mm] > [mm]2/\varepsilon,[/mm] woraus für alle
> Ungleichungen 1/m, 1/n [mm]\le 1/n_0[/mm] gilt und daher [mm]|a_m[/mm] - [mm]a_n|[/mm]
> = 1/m + 1/n [mm]\le 2/n_0[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für alle m, n [mm]\ge n_0.[/mm]
Du möchtest also zeigen, dass [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] eine Cauchy-Folge ist. Das heißt du möchtest, dass
$ [mm] \forall\ \epsilon>0\ \exists\ N\in\IN\ \forall\ n,m\ge [/mm] N [mm] \Rightarrow |a_m-a_n|<\epsilon [/mm] $
Schreibe dafür um [mm] |a_n-a_m|=|a_n-a_m+L-L|\le|a_n-L|+|a_m-L|
[/mm]
zeige nun, dass
$ [mm] \forall\ \epsilon>0\ \exists N_1\in\IN\ \forall\ n\ge N_1 \Rightarrow |a_n-L|<\bruch{\epsilon}{2} [/mm] $
und
$ [mm] \forall\ \epsilon>0\ \exists N_2\in\IN\ \forall\ m\ge N_2\ \Rightarrow |a_m-L|< \bruch{\epsilon}{2} [/mm] $
Wähle dann [mm] N=max\{N_1,N_2\} [/mm] und zeige, dass daraus folgt, dass
$ [mm] \forall\ \epsilon>0\ \exists\ N\in\IN\ \forall\ n,m\ge [/mm] N [mm] \Rightarrow |a_m-a_n|<\epsilon [/mm] $
> Damit ist die Folge eine Cauchy-Folge und folglich
> konvergent.
> Meine eigentliche Frage ist nun, wenn die Folge [mm]1/n^2[/mm]
> lautet, ob ich den Nachweis genauso die oben gezeigt
> erbringen kann und ich nur überall da, wo m bzw. n steht,
> ich [mm]m^2[/mm] und [mm]n^2[/mm] einsetze oder ob ich noch andere Sachen
> beachten muss.
>
> Hier die Frage nochmal mit einem Formeleditor geschrieben:
>
> http://img80.imageshack.us/img80/25/frage.png
>
> Ich bedanke mich für eure Hilfe schon einmal recht
> herzlich im Voraus!
>
>
> Mit freundlichen Grüßen,
> Winston
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Konvergenznachweis-einer-Cauchy-Folge
> http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/262024,0.html
Lg
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