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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Do 01.12.2005 | | Autor: | saxneat |
Nabend !
Habe folgende Aufgabe zu lösen:
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Zahl [mm] $R\in [0,\infty]$, [/mm] für die die folgende reelle Reihe für $|x|<R$ konvergiert und für $|x|>R$ divergiert.
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} 2^{n}x^{n!}$. [/mm] |
da [mm] x^{n!}=(x^{(n-1)!})^{n} [/mm] setze [mm] x^{(n-1)!}=z
[/mm]
[mm] L=\wurzel[n]{a_{n}}=\wurzel[n]{2^{n}}=2
[/mm]
[mm] R=\bruch{1}{L}=\bruch{1}{2}
[/mm]
somit konvergiert [mm] \summe 2^{n}z^{n} [/mm] für [mm] |z|<\bruch{1}{2}
[/mm]
und die ursprünliche Summe für [mm] |x|<\wurzel[(n-1)!]{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Soweit so gut aber ist das schon alles? Kommt mir ein wenig zu schwammig vor vorallem stört mich die (n-1)! über der Wurzel geht das nich irgendwie konkreter?
Vielen Dank im Voraus
MfG
saxneat
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Hallo Saxneat,
nun, die "Lösung", die du da angegeben hast, vergisst du am besten gleich wieder. Es ist natürlich Unsinn, wenn im Konvergenzradius deiner Reihe [mm] n [/mm] selbst vorkommt, denn [mm] n [/mm] ist ja der Laufindex der Reihe!
Eine "Substitution", wie sie hier durchgeführt wird, funktioniert in so einem Fall überhaupt nicht.
Vielmehr musst du dir zunächst Mal Gedanken darüber machen, welche Potenzen in der Reihe
[mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^nx^{n!} [/mm]
überhaupt vorkommen. Und da siehst du, dass eben nur die Koeffizienten [mm] a_{n!}, n \in {\mathbb N} [/mm] ungleich Null sind. Konkret gilt [mm] a_{n!} = 2^n [/mm].
Somit berechnet sich der Konvergenzradius der Potenzreihe zu
[mm] \rho = \left(\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n!]{a_{n!}}\right)^{-1} =
\left( \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n!]{2^n}\right)^{-1} [/mm]
Mit [mm] \sqrt[n!]{2^n} = 2^{\frac{n}{n!}} = 2^{\frac{1}{(n-1)!}}
\to 1 [/mm] bei [mm] n \to \infty [/mm] gilt also [mm] \rho = 1 [/mm].
Gruss Luckyguy.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 Sa 03.12.2005 | | Autor: | saxneat |
Moin nochmal!
meinst du ich soll also eine Hilfsfolge konstruieren mit:
[mm] b_{k}=\begin{cases} 2^{n}, & \mbox{für } k=n! \\ 0, & \mbox{für } k\not=n!\end{cases}
[/mm]
und berechne dann den Konvergenzradius von
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_{k}x^{n!} [/mm] mit:
[mm] L=\limes_{k\to\infty} sup(\wurzel[k]{b_{k}})=\limes_{n\to\infty} sup(\wurzel[n!]{2^{n}})\to [/mm] 1
somit konvergiert [mm] \summe_{n=0}^{\infty}2^{n}x^{n!} [/mm] für alle x mit |x|<1
Wenn das nun so stimmt:
Ist das nun ein üblicher Weg wenn man Fakultäten in der Potenz von x hat??
Oder wann ist dieser Weg noch sinnvoll?
MfG
saxneat
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Hello back,
ja so ist es. Das ist nicht nur ein üblicher Weg, wenn du Fakultäten in der Potenz hast, sondern immer, wenn nicht alle Potenzen von x in der Potenzreihe vorkommen. In so einem Fall muss man immer vorsichtig sein mit den Formeln für den Konvergenzradius.
Weiteres Beispiel: Bei der Reihe [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^n x^{2n} [/mm] musst du genauso vorgehen.
Viele Grüße
Luckyguy
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