Konvergenzradien bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie eine um 0 definierte konvergente Potenzreihe p(z), so dass in einer Umgebung von 0 gilt:
a) [mm] \bruch{1}{1+z^{2}}=\summe a_{n}z^{n}=p(z)
[/mm]
b) [mm] \bruch{1}{1-\bruch{z}{r}}=\summe a_{n}z^{n}=p(z), [/mm] r>0
c) [mm] \bruch{1}{1-\bruch{z^{2}}{r}}=\summe a_{n}z^{n}=p(z), [/mm] r>0
d) [mm] \bruch{1}{(1-z)^{2}}=\summe a_{n}z^{n}=p(z) [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Bestimmen Sie in allen Fällen den Konvergenzradius der Potenzreihe p(z). |
Hallo zusammen,
bei der Aufgabe bin ich noch nicht wirklich dahinter gestiegen, was von mir verlangt ist.
z.B.: b)
Das riecht hier nach geometrische Reihe, also muss [mm] |\bruch{z}{r}|<1 \Rightarrow [/mm] |z|<r. Ist damit die Potenzreihe bestimmt?
c)
Hier muss [mm] |z^{2}|
Was muss ich mir bei a und d vorüberlegen und wie komme ich auf den Konvergenzradius?
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Bei a), b) und c) benutze jeweils:
[mm] \bruch{1}{1-q}= \summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] für |q|<1
Bei a): [mm] q=-z^2
[/mm]
bei b): q=z/r
Bei c): [mm] q=z^2/r
[/mm]
Zu d): für |z|<1 berechne [mm] $(\summe_{n=0}^{\infty}z^n )*(\summe_{n=0}^{\infty}z^n [/mm] )$ mit dem Cauchyprodukt.
FRED
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