Konvergenzradien bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | a) Bestimmen Sie eine um 0 definierte konvergenze Potenzreiche p(z) mit
[mm] \bruch{1}{z^{2}+az+b}=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}=p(z), [/mm] b [mm] \not= [/mm] 0.
Bestimmen Sie den Konvergenzradius von p(z). |
| Aufgabe 2 | b) Es sei [mm] z_{0} \in \IC, [/mm] so dass [mm] z_{0} [/mm] die Gleichung [mm] z^{2}+az+b=0 [/mm] nicht erfüllt. Weiterhin sei q(z) eine um [mm] z_{0} [/mm] definierte konvergenze Potenzreihe mit
[mm] \bruch{1}{z^{2}+az+b}=\summe_{n=0}^{\infty}b_{n}(z-z_{0})^{n}=q(z).
[/mm]
Bestimmen Sie den Konvergenzradius von q(z). |
Hallo zusammen,
ich bräuchte zur obigen Aufgabe erneut eure Hilfe :).
Zu Aufgabe a):
Hier bräuchte ich einen Ansatz: Meine Überlegung ist, dass [mm] (1-z)^{2}=1-2z+z^{2} [/mm] (Potenzreihe würde sich über das Cauchyprodukt errechnen lassen). Das würde von der Form wie die Aufgabe oben aussehen, aber ich schätze mal, ich muss hier mehrüberlegen muss?
Zu Aufgabe b):
Zur Bestimmung des onvergenzradius muss ich wissen, wie [mm] b_{n} [/mm] aussieht. Wenn ich herausgefunden habe, so habe ich den Tipp bekommen, dass die Partialbruchzerlegung hilfreich sein könnte.
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Di 17.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu beiden Aufgaben: es ist nur verlangt, den jeweiligen Konvergenzradius zu bestimmen. Die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] bzw. [mm] b_n [/mm] sind nicht gefragt.
Kommen wir gleich zu b), denn a) ist ein Spezialfall von b)
Seien [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] die Nullstellen des Polynoms $ [mm] z^{2}+az+b [/mm] $ und es sei
$f(z):= [mm] \bruch{1}{z^2+az+b}$ [/mm] für $z [mm] \in [/mm] D = [mm] \IC \setminus \{z_1,z_2 \}$
[/mm]
f ist auf D holomorph. Ist nun [mm] $z_0 \in [/mm] D$, so gilt:
(*) $ [mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}b_{n}(z-z_{0})^{n} [/mm] $ für [mm] $|z-z_0|
wobei R der Radius der größten offenen Kreischeibe um [mm] z_0 [/mm] ist, die noch in D hineinpasst. (das hattet Ihr in der Vorlesung).
So, nun male Dir in die komplexe Ebene die Punkte [mm] z_1,z_2 [/mm] und [mm] z_0 [/mm] . Dann siehst Du sofort, wie sich der Konvergenzradius R der obigen Potenzreihe durch [mm] z_1,z_2 [/mm] und [mm] z_0 [/mm] ausdrücken lässt.
Bei dieser Aufgabe muß man gar nichts rechnen !!!
FRED
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Hallo fred,
danke für deine gewohnte Blitzantwort :).
Irgendwie sehe ich noch nicht sofort, wie sich R ausdrücken lässt. Ich habe ein [mm] z_{0} [/mm] was im Defintionsbereich liegt, [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] liegen nicht in diesem.
Dann male ich komplexe Ebene, [mm] z_{0} [/mm] liegt innerhalb der Kreisscheibe, [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] außerhalb. [mm] R=z_{0}-z_{1} [/mm] bzw. - [mm] z_{2}?
[/mm]
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Di 17.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> danke für deine gewohnte Blitzantwort :).
>
> Irgendwie sehe ich noch nicht sofort, wie sich R
> ausdrücken lässt. Ich habe ein [mm]z_{0}[/mm] was im
> Defintionsbereich liegt, [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm] liegen nicht in
> diesem.
>
> Dann male ich komplexe Ebene, [mm]z_{0}[/mm] liegt innerhalb der
> Kreisscheibe, [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm] außerhalb. [mm]R=z_{0}-z_{1}[/mm]
> bzw. - [mm]z_{2}?[/mm]
Mann, mann. Was habe ich geschrieben ? Und was hast Du in der Vorlesung gelernt:
.......R der Radius der größten offenen Kreischeibe um $ [mm] z_0 [/mm] $ ist, die noch in D hineinpasst.......
Wenn Du gemalt hättest (was ich einwenig bezweifele !), dann hättest Du doch ablesen müssen:
$R= min [mm] \{|z_1-z_0|, |z_2-z_0| \}$
[/mm]
FRED
>
> Beste Grüße
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Hallo Fred,
danke für deine Ausführungen. Ich hatte es durchaus gezeichnet, nur ich glaube nicht so, wie du es meintest. Erst beim nochmaligen Zeichnen ist mir klar geworden, worauf du hinaufwolltest :).
Zurück zur Aufgabe:
Damit habe ich mit 1/R den Konvergenzradius zu b? Was muss ich dann bei der a) noch machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Mi 18.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> danke für deine Ausführungen. Ich hatte es durchaus
> gezeichnet, nur ich glaube nicht so, wie du es meintest.
> Erst beim nochmaligen Zeichnen ist mir klar geworden,
> worauf du hinaufwolltest :).
>
> Zurück zur Aufgabe:
> Damit habe ich mit 1/R den Konvergenzradius zu b?
Nein. Der Konvergenzradius ist R
> Was muss
> ich dann bei der a) noch machen?
Nichts mehr. Hier ist einfach nur [mm] z_0=0
[/mm]
FRED
>
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