Konvergenzradien von Potenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:47 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Es sollen die Konvergenzradien folgender Reihen bestimmt werden:
a) $ [mm] \sum_{n=0}^{\infty}n!x^{n}$
[/mm]
b) [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{s}}{n!}x^{n}$
[/mm]
[mm] c)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n}}{n!}x^{n}$
[/mm]
d) [mm] \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{log n}$
[/mm]
e) [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{n}}$ [/mm] |
Hallo,
[mm] $\limes [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}$
[/mm]
a) [mm] \limes |\frac{n!x^{n}}{(n+1)!x^{n+1}} |=\limes |\frac{1}{(n+1)x}| [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenzradius 0
b) [mm] $\limes |\frac{(n+1)n^{s}}{(n+1)^{s}}x| [/mm] = 0$
c) [mm] $\limes |\frac{(n+1)n^{n}}{(n+1)^{n+1}}x [/mm] |=0$
d)$ [mm] \limes |\frac{log(n+1)}{xlog(n)}| [/mm] = 0$
also ist der Konvergenzradius hier [mm] $\frac{1}{x}$?
[/mm]
e) [mm] $\limes |\frac{(n+1)^{n+1}}{xn^{n}}|=\infty$
[/mm]
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Di 29.03.2011 | | Autor: | meili |
Hallo kushkush,
> Es sollen die Konvergenzradien folgender Reihen bestimmt
> werden:
>
> a) [mm]\sum_{n=0}^{\infty}n!x^{n}[/mm]
>
> b) [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{s}}{n!}x^{n}[/mm]
>
> c)[mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n}}{n!}x^{n}[/mm]
>
> d) [mm]\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{log n}$[/mm]
>
> e) [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{n}}$[/mm]
> Hallo,
Es sind alles Potenzreihen [mm]\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n}[/mm] mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0$ [/mm] = 0.
Quotientenkriterium: Konvergenzradius r, [mm]r = \limes |\frac{a_n}{a_{n+1}} |[/mm] ,
wenn ab einem Index [mm] $\tilde{n}$ [/mm] alle [mm] $a_n \not= [/mm] 0$.
Also alle x-Potenzen aus Deinen Quotienten draussen lassen.
>
> [mm]\limes = \limes_{n\rightarrow \infty}[/mm]
>
> a) [mm]\limes |\frac{n!x^{n}}{(n+1)!x^{n+1}} |=\limes |\frac{1}{(n+1)x}|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Konvergenzradius 0
>
>
> b) [mm]\limes |\frac{(n+1)n^{s}}{(n+1)^{s}}x| = 0[/mm]
>
> c) [mm]\limes |\frac{(n+1)n^{n}}{(n+1)^{n+1}}x |=0[/mm]
>
> d)[mm] \limes |\frac{log(n+1)}{xlog(n)}| = 0[/mm]
>
>
> also ist der Konvergenzradius hier [mm]\frac{1}{x}[/mm]?
>
> e) [mm]\limes |\frac{(n+1)^{n+1}}{xn^{n}}|=\infty[/mm]
>
>
>
> Stimmt das so?
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo meili,
> x draussen lassen
Ok. Die Konvergenzradien stimmen?
> GruB
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Di 29.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
viele der Konvergenzradien stimmen so nicht. Wieso schreibst Du nicht mal, wie Du auf die Grenzwerte kommst.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Ich rechne die konvergenzradien mit : [mm] $r=\limes _{n\rightarrow \infty}|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}|$
[/mm]
[mm] $\limes [/mm] := [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}$
[/mm]
a)$ [mm] \sum_{n=0}^{\infty}n!x^{n} [/mm] $ [mm] $r=\limes |\frac{n!}{(n+1)!}|=\limes |\frac{1}{n+1}|=0 [/mm] $
b)$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{s}}{n!}x^{n} [/mm] $ [mm] $r=\limes |\frac{\frac{n^{2}}{n!}}{\frac{(n+1)^{s}}{(n+1)!}}|=\limes |\frac{n^{2}(n+1)}{(n+1)^{s}}|=0$
[/mm]
c)$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n}}{n!}x^{n} [/mm] $ [mm] $r=\limes |\frac{\frac{n^{n}}{n!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}|= \limes |\frac{n^{n}(n+1)}{(n+1)^{n+1}}|=0$
[/mm]
d) $ [mm] \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{log n}$ $r=\limes \frac{\frac{1}{log n}}{\frac{1}{log (n+1)}} [/mm] = [mm] \limes \frac{log (n+1)}{log n}=1$
[/mm]
e)$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{n}}$ [/mm]
[mm] $r=\limes \frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n}}= \limes (1+\frac{1}{n})^{n}(n+1) [/mm] = [mm] \infty$ [/mm]
Stimmt das so?
> ciao
Danke
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo schachuzipus,
b)
$ [mm] r=\limes |\frac{\frac{n^{2}}{n!}}{\frac{(n+1)^{s}}{(n+1)!}}|=\limes |\frac{n^{s}(n+1)}{(n+1)^{s}}|= \limes (n+1)(\frac{n}{n+1})^{s}=\infty [/mm] $
c)
$ [mm] r=\limes |\frac{\frac{n^{n}}{n!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}|= \limes |\frac{n^{n}(n+1)}{(n+1)^{n+1}}|= \limes \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}=\limes (\frac{n}{n+1})^{n} [/mm] = [mm] \limes (1+\frac{1}{n})^{-n} [/mm] = [mm] \frac{1}{e} [/mm] $
> daumenhoch
> daumenhoch
> log begründen
naja log wächst so langsam dass $log(n)=log(n+1)$ für [mm] $n\rightarrow \infty$
[/mm]
OK?
> LG
Danke!
Gruss
kushkush
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
>
> b)
> [mm]r=\limes |\frac{\frac{n^{2}}{n!}}{\frac{(n+1)^{s}}{(n+1)!}}|=\limes |\frac{n^{s}(n+1)}{(n+1)^{s}}|= \limes (n+1)(\frac{n}{n+1})^{s}=\infty[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wieder eine kurze Begründung für das letzte "=" liefern ...
>
>
> c)
>
> [mm]r=\limes |\frac{\frac{n^{n}}{n!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}|= \limes |\frac{n^{n}(n+1)}{(n+1)^{n+1}}|= \limes \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}=\limes (\frac{n}{n+1})^{n} = \limes (1+\frac{1}{n})^{-n} = \frac{1}{e}[/mm]
Gut!
>
>
> > daumenhoch
>
> > daumenhoch
>
> > log begründen
>
> naja log wächst so langsam dass [mm]log(n)=log(n+1)[/mm] für [mm]n\rightarrow \infty[/mm]
Hmm, das ist arg schwammig, kannst du es formaler begründen?
> OK?
>
> > LG
>
> Danke!
>
> Gruss
>
> kushkush
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> kurz begründen
b)
für $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] geht [mm] (\frac{n}{n+1})^{s} [/mm] gegen [mm] $1^{s}$ [/mm] und (n+1) gegen [mm] $\infty$
[/mm]
> schwammig
nein, wie macht man das? eine Taylorreihe machen und dann nach unendlich laufen lassen??
> LG
Danke
kushkush
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> > kurz begründen
>
> b)
>
> für [mm]n \rightarrow \infty[/mm] geht [mm](\frac{n}{n+1})^{s}[/mm] gegen
> [mm]1^{s}[/mm] und (n+1) gegen [mm]\infty[/mm]
O.K.
>
> > schwammig
>
> nein, wie macht man das? eine Taylorreihe machen und dann
> nach unendlich laufen lassen??
Zeige: [mm] \bruch{log(n)}{log(n+1)} \to [/mm] 1 für n [mm] \to \infty
[/mm]
Zum beispiel kannst Du mit l'Hospital zeigen: [mm] \bruch{log(x)}{log(x+1)} \to [/mm] 1 für x [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
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> > LG
>
> Danke
>
> kushkush
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> O.K.
> hopital
OK.
Danke!
Gruss
kushkush
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
