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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(i-1)^{n+1}}{n^{n-1}}*x^{n} [/mm] |
Hallo :D
Ich weis leider nicht wie ich diese Aufgabe berechnen soll, ich hab leider noch nicht einmal einen Ansatz ...
Ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen :D
LG
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Hallo,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden
> Potenzreihen.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(i-1)^{n+1}}{n^{n-1}}*x^{n}[/mm]
> Hallo :D
> Ich weis leider nicht wie ich diese Aufgabe berechnen
> soll, ich hab leider noch nicht einmal einen Ansatz ...
> Ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen :D
Cauchy-Hadamard?!
> LG
Gruß
schachuzipus
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Ich hab mal angefangen, komme aber ab einem bestimmten Punkt leider nicht mehr weiter ...
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{(i-1)^{n+1}}{n^{n-1}}}{\bruch{(i-1)^{n+2}}{(n+1)^{n}}}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(i-1)^{n+1}}{n^{n-1}}*\bruch{(n+1)^{n}}{(i-1)^{n+2}}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{1}{n^{n-1}}*\bruch{(n+1)^{n}}{(i-1)}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(n+1)^{n}}{(i-1)n^{n-1}}|
[/mm]
Und hier hakts leider :/
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Hallo,
vorneweg: weshalb bist du nicht dem Rat von schachuzipus gefolgt, das wäre wesentlich einfacher gewesen?
> Ich hab mal angefangen, komme aber ab einem bestimmten
> Punkt leider nicht mehr weiter ...
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{(i-1)^{n+1}}{n^{n-1}}}{\bruch{(i-1)^{n+2}}{(n+1)^{n}}}|[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(i-1)^{n+1}}{n^{n-1}}*\bruch{(n+1)^{n}}{(i-1)^{n+2}}|[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{1}{n^{n-1}}*\bruch{(n+1)^{n}}{(i-1)}|[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(n+1)^{n}}{(i-1)n^{n-1}}|[/mm]
>
Das sieht bis dahin richtig aus. Wenn du jetzt den Bruch im Betrag noch mit n erweiterst, dann solltest du klarer sehen. Beachte in diesem Zusammenhang, dass [mm] n\in\IN [/mm] und somit das Potenzgesetz
[mm] \left(\bruch{a}{b}\right)^n=\bruch{a^n}{b^n} [/mm] gültig ist!
Gruß, Diophant
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Öhm, irgediew stehe ich aufm schlauch ...
mit n erweitert wäre das dann ja:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{n*(n+1)^{n}}{(i-1)*n^{n}}|
[/mm]
Und jetzt?
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Moin,
> Öhm, irgediew stehe ich aufm schlauch ...
Ja, und zwar gewaltig.
> mit n erweitert wäre das dann ja:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{n*(n+1)^{n}}{(i-1)*n^{n}}|[/mm]
> Und jetzt?
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+1)^n}{n^n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n=...
[/mm]
Halten wir fest: du hast einen Tipp bekommen und hast genau das getan was geraten wurde, jedoch kein bisschen mehr. Nun kommt die Frage wie es weiter geht.
Weshalb hast du dir bspw. oben nicht selbst überelegt, ob man an den auftretenden Potenzen von n vielleicht schon sehen kann was passiert, oder irgendetwas in der Art. Aber da oben ist nichts, nicht die leiseste Andeutung einer eigenen Überlegung. So kommt man in der Mathematik nicht weiter, ohne Forum nicht, mit Forum auch nicht. Selbst wenn man die fertigen Lösungen angeben würde, es würde dich nicht weiter bringen...
Und meine ganz persönliche Meinung ist die, dass sich Studenten allein dadurch, dass sie studieren können, in einer privilegierten Situation befinden, und dass man daher von Studenten im Rahmen eines solchen Forums eindeutig ein Mehr an Eigeninitiative erwarten darf als etwa von Schülern.
Hugh, Diophant
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D.h. ich habe dann im Endeffekt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{n}{(i-1)}*(1+\bruch{1}{n})^{n}|
[/mm]
Der erste teil geht denn gegen unendlich und der zweite gegen 1
Also geht die Reihe gegen unendlich??
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Hallo,
> D.h. ich habe dann im Endeffekt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{n}{(i-1)}*(1+\bruch{1}{n})^{n}|[/mm]
> Der erste teil geht denn gegen unendlich und der zweite
> gegen 1
Oha. Du beschäftigst dich mit dem Konvergenzradius von Potenzreihen, und kennst diesen Grenzwert nicht:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n=e
[/mm]
??? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") ???
> Also geht die Reihe gegen unendlich??
Welche Reihe? Der Grenzwert ist unendlich, und damit der Konvergenzradius deiner Reihe. Das bedeutet aber ja gerade, dass die Potenzreihe auf ganz [mm] \IC [/mm] einen Grenzwert besitzt und somit nicht gegen unendlich geht...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Do 05.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden
> Potenzreihen.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(i-1)^{n+1}}{n^{n-1}}*x^{n}[/mm]
> Hallo :D
> Ich weis leider nicht wie ich diese Aufgabe berechnen
> soll, ich hab leider noch nicht einmal einen Ansatz ...
> Ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen :D
> LG
Mein Kollege schachuzipus hat doch vorgeschlagen: Cauchy-Hadamard
Damit gehts schneller:
Sei [mm] a_n:=\bruch{(i-1)^{n+1}}{n^{n-1}}. [/mm] Dann ist
[mm] a_n=\bruch{(i-1)^{n+1}*n}{n^{n}}
[/mm]
und somit: [mm] |a_n|=\bruch{(\wurzel{2})^n*n}{n^{n}}
[/mm]
Zeige nun Du: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}=0.
[/mm]
FRED
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