Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
habe leider etwas durchgerechnet, habe jedoch die Lösung davon nicht.
Wie sieht der Konvergenzradius für :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(2k+1)!} x^{2k+1}
[/mm]
Ich habe r=0 raus bin mir jedoch nicht ganz sicher. Stimmt das Ergebnis?
|
|
| |
|
Hallo alfonso2020,
> Hallo,
>
> habe leider etwas durchgerechnet, habe jedoch die Lösung
> davon nicht.
>
> Wie sieht der Konvergenzradius für :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(2k+1)!} x^{2k+1}[/mm]
>
> Ich habe r=0 raus bin mir jedoch nicht ganz sicher. Stimmt
> das Ergebnis?
Das stimmt leider nicht.
Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Meine Schritte :
L= | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] |
= | [mm] \bruch{2k+1)!}{(2k+2)!} [/mm] |
= | [mm] \bruch{(2k+1)!}{(2k+1)!(2k+2)} [/mm] |
= | [mm] \bruch{1}{(2k+2)} [/mm] |
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{1}{(2k+2)} [/mm] | = [mm] \infty
[/mm]
Da [mm] L=\infty [/mm] -> r=0
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 So 20.07.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
schaue mal in Deine letzte Umformung und denke dran, dass k im Nenner steht.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 So 20.07.2014 | | Autor: | abakus |
> Meine Schritte :
>
> L= | [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] |
>
> = | [mm]\bruch{2k+1)!}{(2k+2)!}[/mm] |
Bereits hier ist ein Fehler drin. Es muss
[mm]\bruch{(2k+1)!}{(2(k+1)+1)!}[/mm] und somit [mm]\bruch{(2k+1)!}{(2k+3)!}=\bruch{1}{(2k+2)(2k+3)}[/mm] entstehen.
Gruß Abakus
>
> = | [mm]\bruch{(2k+1)!}{(2k+1)!(2k+2)}[/mm] |
>
> = | [mm]\bruch{1}{(2k+2)}[/mm] |
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{1}{(2k+2)}[/mm] | = [mm]\infty[/mm]
>
> Da [mm]L=\infty[/mm] -> r=0
|
|
|
| |
|
Gegeben war 2k+1 und nicht 2(k+1), als Anmerkung. Also könnte dort doch nicht der Fehler liegen .. oder doch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 So 20.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Gegeben war 2k+1 und nicht 2(k+1), als Anmerkung.
Das gilt für das Glied mit de m Index k
Und das nächste Glied hat wohl den Index k+1.
Was wird denn aus 2k+1, wenn du anstelle von k dann k+1 einsetzt?
> Also könnte dort doch nicht der Fehler liegen .. oder doch?
Doch, das war ein Fehler, aber nicht der, der in diesem Fall zu deinem falschen Ergebnis geführt hat. Auf diesen (zweiten) Fehler hat dich aber schon Infinit aufmerksam gemacht.
Gruß RMix
|
|
|
| |
|
Oh mist. Jetzt verstehe ich was gemeint ist.
Bei meinem ersten Rechenweg müsste : r= [mm] \infty [/mm] raus, da L gegen 0 läuft ( k ausgeklammert -> [mm] \bruch{\bruch{1}{k}}{2+\bruch{2}{k}} [/mm] und somit läuft der Grenzwert gegen 0 )
Und nun setze ich für k richtig ein und erhalte für ebenfalls r= [mm] \infty [/mm] .
Stimmts?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 So 20.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Oh mist. Jetzt verstehe ich was gemeint ist.
>
> Bei meinem ersten Rechenweg müsste : r= [mm]\infty[/mm] raus, da L
> gegen 0 läuft ( k ausgeklammert ->
> [mm]\bruch{\bruch{1}{k}}{2+\bruch{2}{k}}[/mm] und somit läuft der
> Grenzwert gegen 0 )
>
> Und nun setze ich für k richtig ein und erhalte für
> ebenfalls r= [mm]\infty[/mm] .
>
> Stimmts?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, genau - die Reihe konvergiert für alle x. Dein erster Fehler hat bei diesem Beispiel keine Auswirkung auf das Ergebnis, könnte sich aber beim nächsten Beispiel schon ganz fatal niederschlagen.
Gruß RMix
|
|
|
|
