Konvergenzradius < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 Fr 08.05.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Berechne den Konvergenzradius von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}z^{n!}. [/mm] |
Hallo,
ich habe folgendes gemacht:
Definiere für k [mm] \in [/mm] IN
[mm] a_k= [/mm] 1, falls ein n [mm] \in [/mm] IN existiert mit k=n! und [mm] a_k=0, [/mm] sonst
Dann ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}z^{n!} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_kz^{k}. [/mm] Wegen [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|a_k|}=1 [/mm] ist der Konvergenzradius 1.
Was meint ihr?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Fr 08.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechne den Konvergenzradius von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}z^{n!}.[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe folgendes gemacht:
> Definiere für k [mm]\in[/mm] IN
> [mm]a_k=[/mm] 1, falls ein n [mm]\in[/mm] IN existiert mit k=n! und [mm]a_k=0,[/mm]
> sonst
>
> Dann ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty}z^{n!}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_kz^{k}.[/mm]
Das ist O.K.
> Wegen
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|a_k|}=1[/mm]
Das ist nicht O.K.
Die Folge [mm] (\wurzel[k]{|a_k|})_{k \in \IN} [/mm] ist nicht konvergent ! Aber es ist
[mm]lim sup_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|a_k|}=1[/mm]
> ist der
> Konvergenzradius 1.
Ja
FRED
>
> Was meint ihr?
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Fr 08.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne den Konvergenzradius von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}z^{n!}.[/mm]
Du hast also
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\blue{1}z^{n!}$
[/mm]
Du kannst auch (mache Dir das klar) den Konvergenzradius per
[mm] $\limsup_{n \to \infty}\sqrt[\red{n!}]{\blue{1}}=\limsup_{n \to \infty}\blue{1}^{1/\red{n!}}$
[/mm]
berechnen.
Siehe auch
https://matheraum.de/read?i=1048546
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Fr 08.05.2015 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo,
Sollte dir jemals langweilig sein:
Zu dieser 'Lückenreihe' kann man (weil du das auch ins komplexe Analyis Forum schreibst) einige interessante Aufgaben stellen - unter anderem , kann man sich überlegen, dass sie am Rand nicht analytisch fortgesetzt werden kann:
also es gibt kein Gebiet $D [mm] \supset \mathbb{D}$ [/mm] wobei [mm] $\mathbb{D}:=\{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$sodass [/mm] f eine analytische Fortsetzung g auf D hat.
Das ist gar nicht so einfach.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Fr 08.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Man kann es auch so machen:
für |z|<1 ist [mm] |z|^{n!} \le |z|^n, [/mm] also konvergiert Pdie otenzreihe für diese z.
Für |z| [mm] \ge [/mm] 1 ist [mm] (|z|^{n!}) [/mm] kein Nullfolge
FRED
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