Konvergenzradius < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Do 23.07.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Welchen Konvergenzradius hat die Taylorreihe bei Entwicklung um den Punkt 1 der Funktion f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR, f(x)=sin(1+exp(\bruch{1}{1+x^2})) [/mm] |
Hallo,
wie kann ich denn bei obiger Aufgabe vorgehen? In die Reihendarstellungen von sin bzw. exp einsetzen? Wie bekomme ich dann den Punkt 1 ins Spiel?
Danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:54 Fr 24.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Welchen Konvergenzradius hat die Taylorreihe bei
> Entwicklung um den Punkt 1 der Funktion f: [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR, f(x)=sin(1+exp(\bruch{1}{1+x^2}))[/mm]
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> Hallo,
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> wie kann ich denn bei obiger Aufgabe vorgehen? In die
> Reihendarstellungen von sin bzw. exp einsetzen? Wie bekomme
> ich dann den Punkt 1 ins Spiel?
Betrachte f auf [mm] \IC: [/mm] setze [mm] g(z):=sin(1+exp(\bruch{1}{1+z^2}))
[/mm]
g hat in z=i und in z=-i isolierte Singularitäten.
Zeige: beide sind Pole von g.
g ist also holomorph auf dem Gebiet [mm] G=\IC \setminus \{i,-i\} [/mm] und es ist 1 [mm] \in [/mm] G.
Nun sei r>0 und [mm] K_r(1):={z \in \IC: |z-1|
Bestimme das größte r mit der Eigenschaft [mm] K_r(1) \subseteq [/mm] G.
Was sagt nun der "Satz über die Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen" über die Größe des Konvergenzradius R der Potenzreihentwicklung von g um 1 aus ?
Warum ist nun R der Konvergenzradius der Taylorreihe bei Entwicklung um den Punkt 1 der Funktion f: $ [mm] \IR [/mm] $ --> $ [mm] \IR, f(x)=sin(1+exp(\bruch{1}{1+x^2})) [/mm] $ ?
FRED
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> Danke schon mal
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