Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Do 03.12.2015 | | Autor: | Tabs2000 |
| Aufgabe | | Was ist der Konvergenzradius? Wie kann man ihn sich "bildlich" vorstellen? |
Hallo,
ich arbeite gerade meine letzte Vorlesung nach und bin auf ein Problem gestoßen. Es geht um Konvergenzradien bei Reihen (eingeführt bei Potenzreihen)
Frage 1: Warum macht es denn gerade hier Sinn, den Konvergenzradius einzuführen. Lässt er sich nicht auch für andere Reihen ausrechnen?
Dann verstehe ich noch nicht so ganz, wie man sich das bildlich vorstellen kann.
Klar, anhand der komplexen Zahlenebene kann man Kreise mit unterschiedlichen Radien konstruieren, aber wie das hier miteinander zusammenhängt, ist mir noch nicht ganz klar. (RADIUS???) Außerdem: Wieso KONVERGENZ-Radius?: Bisher hatten wir für Reihen immer bestimmt, ob sie generell konvergiert oder nicht und jetzt soll das für ein Bestimmtes |x|<R gelten? Gibt es dafür vielleicht ein einfaches Beispiel?
Rechnerisch habe ich verstanden, wie man auf R kommt. Nur der wirkliche "Sinn" bzw. die bildliche Vorstellungskraft fehlt mir gerade.
Vielen Dank im Voraus,
Tabs2000
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Do 03.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Was ist der Konvergenzradius? Wie kann man ihn sich
> "bildlich" vorstellen?
> Hallo,
>
> ich arbeite gerade meine letzte Vorlesung nach und bin auf
> ein Problem gestoßen. Es geht um Konvergenzradien bei
> Reihen (eingeführt bei Potenzreihen)
> Frage 1: Warum macht es denn gerade hier Sinn, den
> Konvergenzradius einzuführen. Lässt er sich nicht auch
> für andere Reihen ausrechnen?
> Dann verstehe ich noch nicht so ganz, wie man sich das
> bildlich vorstellen kann.
> Klar, anhand der komplexen Zahlenebene kann man Kreise mit
> unterschiedlichen Radien konstruieren, aber wie das hier
> miteinander zusammenhängt, ist mir noch nicht ganz klar.
> (RADIUS???) Außerdem: Wieso KONVERGENZ-Radius?: Bisher
> hatten wir für Reihen immer bestimmt, ob sie generell
> konvergiert oder nicht und jetzt soll das für ein
> Bestimmtes |x|<R gelten? Gibt es dafür vielleicht ein
> einfaches Beispiel?
> Rechnerisch habe ich verstanden, wie man auf R kommt. Nur
> der wirkliche "Sinn" bzw. die bildliche Vorstellungskraft
> fehlt mir gerade.
Dann wollen wir mal: gegeben ist eine Folge [mm] (a_n)_{n \in \IN_0} [/mm] in [mm] \IR [/mm] oder in [mm] \IC [/mm] und eine reelle oder komplexe Zahl [mm] z_0. [/mm] Dann nennt man die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n
[/mm]
eine Potenzreihe (PR). Nun stellt sich die Frage: für welche Zahlen z ist diese Reihe konvergent ?
Ist nun R der Konvergenzradius obiger Potenzreihe, so gibt es 3 Fälle:
1. R=0. Dann konvergiert die PR nur für [mm] z=z_0.
[/mm]
2. [mm] R=\infty. [/mm] Dann konvergiert die PR für alle z absolut.
3. 0<R< [mm] \infty: [/mm] in diesem Fall hat man:
(i) die PR konvergiert absolut für alle z mit der Eigenschaft [mm] $|z-z_0|
(ii) die PR divergiert für alle z mit der Eigenschaft [mm] $|z-z_0|>R$
[/mm]
(iii) ist [mm] |z-z_0|=R, [/mm] so ist keine allgemeine Aussage möglich.
Schauen wir uns den Fall 3(i) genauer an:
Die Menge der komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft [mm] $|z-z_0|RADIUS R und Mittelpunkt [mm] z_0.
[/mm]
Ist es nun klarer ?
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus,
>
> Tabs2000
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 03.12.2015 | | Autor: | Tabs2000 |
Vielen Dank, jetzt kann ich mir das besser vorstellen :)
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