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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 So 23.04.2006 | | Autor: | Plumbum |
| Aufgabe | Bestimme die Konvergenzradien der Potenzreihen:
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^n}{2^\wurzel{n}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-\pi) ^n * z^{2n}}{n!} [/mm] |
Wollte fragen, ob ich das richtig gerechnet habe:
b) Subst. mit [mm] z^2 [/mm] = x, dann habe ich [mm] |a_{n}/ a_{n+1}| [/mm] benutzt, und da kam als ergebnis |x| * [mm] \bruch{\pi}{n+1} [/mm] = 0, also Radius = [mm] \infty
[/mm]
a) wusste nicht genau, wie ich es machen soll. habs erst umgeformt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^n}{2^{n^{1/2}}}, [/mm] dann das cauchy-had. benutzt: r= [mm] \bruch{1}{limsup \bruch{1}{2^{n^{-1/2}}}}. [/mm] und jetzt komme ich nicht mehr weiter.
Danke für eure Hilfe.
VG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimme die Konvergenzradien der Potenzreihen:
> a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^n}{2^\wurzel{n}}[/mm]
> b)
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-\pi) ^n * z^{2n}}{n!}[/mm]
>
> Wollte fragen, ob ich das richtig gerechnet habe:
>
> b) Subst. mit [mm]z^2[/mm] = x, dann habe ich [mm]|a_{n}/ a_{n+1}|[/mm]
> benutzt, und da kam als ergebnis |x| * [mm]\bruch{\pi}{n+1}[/mm] =
Du meinst $|x| [mm] \frac{\pi}{n+1} \to [/mm] 0$ fuer $n [mm] \to \infty$, [/mm] oder?
> 0, also Radius = [mm]\infty[/mm]
Ja, das ist richtig. Alternativ kannst du auch $x = [mm] -\pi z^2$ [/mm] substitutieren: Dann ist die Reihe gerade gleich [mm] $\exp(x) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$.
[/mm]
> a) wusste nicht genau, wie ich es machen soll. habs erst
> umgeformt:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^n}{2^{n^{1/2}}},[/mm] dann das
> cauchy-had. benutzt: r= [mm]\bruch{1}{limsup \bruch{1}{2^{n^{-1/2}}}}.[/mm]
Da hast du dich verrechnet. Was ist [mm] $\frac{2^{\sqrt{n}}}{2^{\sqrt{n+1}}}$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Plumbum |
Hallo,
zu Teil a): wie soll ich das rechnen? verstehe nicht ganz, was du (felix) meinst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> zu Teil a): wie soll ich das rechnen? verstehe nicht ganz,
> was du (felix) meinst.
Na, wenn du die Koeffizienten in die Formel von Cauchy-Hadamard einsetzt bekommst du $R = [mm] \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \frac{2^{\sqrt{n+1}}}{2^{\sqrt{n}}}}$. [/mm] Und [mm] $\frac{2^{\sqrt{n+1}}}{2^{\sqrt{n}}} [/mm] = [mm] 2^{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}$. [/mm] Das konvergiert sogar, womit [mm] $\limsup_{n\to\infty} \frac{2^{\sqrt{n+1}}}{2^{\sqrt{n}}} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} 2^{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}$ [/mm] ist.
Kommst du damit jetzt weiter?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Plumbum |
ach ja, stimmt. danke.
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