Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Do 27.04.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Hab folgende Aufgabe zu bewältigen: Auf welcher Menge M [mm] \subseteq \IR [/mm] definiert die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} x^{2}/(1+x^{4})^{n}
[/mm]
eine Funktion f: M [mm] \to \IR? [/mm] Geben Sie f explizit an?
Mein Problem ist jetzt, dass ich die Aufgabenstellung nicht so ganz verstehe. Was soll ich denn eigentlich machen? Hat das eventuell was mit dem Konvergenzradius zu tun?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hab folgende Aufgabe zu bewältigen: Auf welcher Menge M
> [mm]\subseteq \IR[/mm] definiert die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} x^{2}/(1+x^{4})^{n}[/mm]
> eine Funktion
> f: M [mm]\to \IR?[/mm] Geben Sie f explizit an?
> Mein Problem ist jetzt, dass ich die Aufgabenstellung
> nicht so ganz verstehe. Was soll ich denn eigentlich
> machen? Hat das eventuell was mit dem Konvergenzradius zu
> tun?
Da dies keine Potenzreihe ist, kannst du mit dem Konvergenzradius nichts machen.
Mach doch mal eine Fallunterscheidung: Ist $x = 0$ so siehst du schnell, dass die Reihe konvergiert.
Wenn $x [mm] \neq [/mm] 0$ ist, dann ist [mm] $\summe_{n=0}^{ \infty} x^{2}/(1+x^{4})^{n} [/mm] = [mm] x^2 \summe_{n=0}^{ \infty} \frac{1}{(1+x^{4})^{n}}$. [/mm] Jetzt fixiere doch mal so ein $x$ und setze $t := 1 + [mm] x^4$. [/mm] Dann ist $t > 1$, womit [mm] $\left|\frac{1}{t}\right| [/mm] < 1$ ist. Also konvergiert [mm] $\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{t}\right)^n$.
[/mm]
Kommst du jetzt weiter?
LG Felix
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