Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Potenzreihen
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch {x^n}{n} [/mm] |
Hallo,
ich weiß nicht sorecht was ich machen soll. Kann ich dies mit dem Quotientenkriterium lösen? Muss ich dann eine Indexverschiebung machen, damit die summe von Null los geht? heißt es dann: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch {x^{n-1}}{n-1} [/mm] ? und dann? Qoutientenkriterium: [mm] \bruch {x^{n}*(n-1)}{(n)*x^{n-1}} [/mm] . stimmt das so? aber dann? was muss ich jetz machen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stadtwerk!
> Kann ich dies mit dem Quotientenkriterium lösen?
Klar, ist hier sogar ratsam ...
> Muss ich dann eine Indexverschiebung machen, damit die summe von
> Null los geht?
Nein, das ist nicht nötig. Schließlich wird bei der Konvergenzradiusberechnung der Grenzwert [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] betrachtet.
> heißt es dann: [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch {x^{n-1}}{n-1}[/mm]
Das wäre auch falsch. Da gehören schon jeweils [mm] $\red{+}$-Zeichen [/mm] zwischen $n_$ und $1_$ ...
> ? und dann? Qoutientenkriterium: [mm]\bruch {x^{n}*(n-1)}{(n)*x^{n-1}}[/mm]
Für den Konvergenzradius betrachten wir lediglich die Koeffizientenfolge; hier [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] .
$r \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n+1}}\right| [/mm] \ = \ ...\ =\ 1$
Dabei müssen dann die beiden Randfälle [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -1$ bzw. [mm] $x_2 [/mm] \ = ß +1$ noch gesondert betrachtet und nachgewiesen werden.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
