Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
welche Eigenschaft hat eine Potenzreihe bzw. die dazugehörige Funktion, wenn der Konvergenzradius R=0 beträgt? Für R= [mm] \infty [/mm] divergiert die Reihe, d.h. die Funktion ist beliebig oft differenzierbar, für 0 < R < [mm] \infty [/mm] ist der Fall auch klar. Hier konvergieren nur bestimmte Glieder der Reihe. Wie aber sieht es für R=0 aus?
Gruß
BeelzeBub
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Herby,
in einem Buch steht, dass für R=0 die Reihe dann nur für x=0 konvergent ist. Auf Wiki steht, dass für [mm] |x-x_0|=R [/mm] keine allgemeine Aussage getroffen werden kann.
Aber noch eine Frage dazu: Stimmt es, dass reelle Funktionen genau dann analytisch sind, wenn die dazugehörige Potenzreihe innerhalb des Konvergenzradius R liegt? Das würde dann aber nur auf den Teil zutreffen, der in den Konvergenzradius fällt oder sagt man dann die ganze Funktion sei analytisch? Müsste ja eigentlich nur dann sein, wenn alle Folgenglieder der Potenzreihe innerhalb des Konvergenzradius liegen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Mi 24.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Beelzebub!
> in einem Buch steht, dass für R=0 die Reihe dann nur für
> x=0 konvergent ist.
Das ist trivial. Setz doch mal x=0 in die Potenzreihe ein! Dann bleibt nur noch das erste Glied übrig, alle anderen sind 0.
> Auf Wiki steht, dass für [mm]|x-x_0|=R[/mm]
> keine allgemeine Aussage getroffen werden kann.
Das ist ein bischen schlampig formuliert, gilt für endliche [mm]R>0[/mm].
> Aber noch eine Frage dazu: Stimmt es, dass reelle
> Funktionen genau dann analytisch sind, wenn die
> dazugehörige Potenzreihe innerhalb des Konvergenzradius R
> liegt?
Da verwechselst du unterschiedliche Begriffe. Eine Funktion ist reell analytisch, wenn diese Funktion in einem offenen Intervall in eine konvergente Potenzreihe entwickelt werden kann. Das ist eine Eigenschaft der ganzen Funktion.
> Das würde dann aber nur auf den Teil zutreffen, der
> in den Konvergenzradius fällt oder sagt man dann die ganze
> Funktion sei analytisch? Müsste ja eigentlich nur dann
> sein, wenn alle Folgenglieder der Potenzreihe innerhalb des
> Konvergenzradius liegen, oder?
Das hat nichts mit den einzelnen Folgengliedern zu tun, sondern es geht um die Variable x.
Ein Beispiel: Die Sinusfunktion ist reell analytisch auf ganz [mm]\IR[/mm], ihre Potenzreihenentwicklung um [mm]x_0=0[/mm] ist
[mm]\sin x = \summe_{i=0}^\infty \bruch{1}{(2n+1)!} (x-0)^{2n+1}[/mm] .
Der Konvergenzradius ist [mm]\infty[/mm], das heisst, dass die Reihe für alle [mm]x\in\IR[/mm] konvergiert.
Dagegen gilt für die Funktion
[mm]\bruch{1}{1-x} = \summe_{i=1}^{infty} x^n[/mm]
dass die Potenzreihe um 0 für [mm]-1 < x<1[/mm] konvergiert, der Konvergenzradius ist 1.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
ich dachte immer, wenn der Grenzwert [mm] \infty [/mm] ergibt bzw. [mm] R=\infty, [/mm] dann divergiert die Potenzreihe und die Funktion ist auf ganz [mm] \IR [/mm] beliebig oft differenzierbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Mi 24.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich dachte immer, wenn der Grenzwert [mm]\infty[/mm] ergibt bzw.
> [mm]R=\infty,[/mm]
Das sind zwei verschiedene Paar Stiefel. [mm]R=\infty[/mm] bedeutet, dass die Potenzreihe überall konvergiert. Dann ist sie auf ganz [mm]\IR[/mm] beliebig oft differenzierbar.
Ist der Konvergenzradius endlich, so ist die Funktion im Konvergenzkreis beliebig oft differenzierbar.
Wenn der Grenzwert [mm]\infty[/mm] ist, divergiert sie.
Die Umkehrung gilt nicht, wie das Beispiel der reellen Funktion
[mm]f(x):=\begin{cases} \exp\left(-\displaystyle\bruch{1}{x^2}\right) & x\not=0 \\ 0 & x=0 \end{cases}[/mm]
zeigt.
Diese Funktion ist in ganz [mm]\IR[/mm] beliebig oft differenzierbar, die Potenzreihe um 0 stellt stellt sie nur im Punkt 0 dar. Somit ist sie im Punkt 0 nicht analytisch.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
so langsam verstehe ich.
>[mm]R=\infty[/mm] bedeutet, dass die Potenzreihe überall >konvergiert. Dann ist sie auf ganz [mm]\IR[/mm] beliebig oft >differenzierbar.
Und das kann ich dann auf die Funktion selbst zurückführen, oder? Beispiel wäre sin(x), cos(x) oder [mm] e^x. [/mm] Deren Potenzreihen haben nämlich den Konvergenzradius [mm]R=\infty[/mm].
Wie berechnet man eigentlich den Konvergenzbereich? Ist das dasselbe wie Konvergenzkreis? Ich bin schon über beide Worte gestolpert.
Der Konvergenzbereich sagt mir letztendlich für welche x die Reihe konvergiert. Habe ich das so richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo BeelzeBub!
> Wie berechnet man eigentlich den Konvergenzbereich?
Der Konvergenzbereich ist der das Intervall um den Entwicklungspunkt $a_$ mit [mm] $\left] \ a-R \ ; \ a+R \ \right[$ [/mm] .
Ob die Intervallränder zum Intervallbereich dazugehören, muss separat für jede Reihe überprüft werden.
> Ist das dasselbe wie Konvergenzkreis? Ich bin schon über beide
> Worte gestolpert.
Konvergenzkreis würde ich eher im Bereich der komplexen zahlen (sprich: bei komplexen Reihen) ansiedeln. Prinzipiell meint es aber dasselbe ...
> Der Konvergenzbereich sagt mir letztendlich für welche x
> die Reihe konvergiert. Habe ich das so richtig verstanden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Korrekt!
Gruß
Loddar
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Hallo Rainer,
>Eine Funktion ist reell analytisch, wenn diese Funktion in >einem offenen Intervall in eine konvergente Potenzreihe >entwickelt werden kann. Das ist eine Eigenschaft der ganzen >Funktion.
Gilt das nur dann, wenn der Konvergenzradius [mm] R=\infty [/mm] ist oder reicht es, wenn nur ein Teil der Potenzreihe konvergiert, d.h. wenn der Konvergenzradius endlich ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Mi 24.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> >Eine Funktion ist reell analytisch, wenn diese Funktion in
> >einem offenen Intervall in eine konvergente Potenzreihe
> >entwickelt werden kann. Das ist eine Eigenschaft der
> ganzen >Funktion.
>
> Gilt das nur dann, wenn der Konvergenzradius [mm]R=\infty[/mm] ist
> oder reicht es, wenn nur ein Teil der Potenzreihe
> konvergiert, d.h. wenn der Konvergenzradius endlich ist?
Das gilt auch für endlichen Konvergenzradius.
Genau genommen muss man sagen, auf welches Intervall sich das "analytisch" bezieht. Also: "eine Funktion ist analytisch auf dem Intervall [mm](a,b)[/mm]" oder "die Funktion [mm]f: (a,b)\rightarrow \IR[/mm] ist analytisch. Damit ist eindeutig, was gemeint ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Mi 24.10.2007 | | Autor: | BeelzeBub |
Hallo!
Alles klar. Jetzt habe ich es verstanden. Demnach sind dann die meisten reellen Funktionen reell analytisch.
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Wie berechnet man eigentlich den Konvergenzbereich, um herauszufinden für welche x die Potenzreihe konvergiert?
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Hallo,
nun, sagen wir, du hast eine Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] $r=\frac{1}{\lim sup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}}$ [/mm]
Das nennt sich Kriterium von Cauchy-Hadamard
Oder, wenn die [mm] $a_k\neq [/mm] 0$ sind, in Anlehnung an das Quotientenkriterium:
[mm] $r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|$
[/mm]
Das sog. Euler-Kriterium
Wenn du solch ein $r$ berechnet hast, konvergiert die Potenzreihe für [mm] $|x-x_0|
Außerhalb divergiert sie, auf dem Rand (an den Intervallgrenzen) - wie oben erwähnt - musst du die Konvergenz separat prüfen.
Dh. für [mm] $|x-x_0|=r$ [/mm] , also [mm] $x-x_0=\pm [/mm] r$ musst du das in die Potenzreihe einsetzen und auf Konvergenz prüfen mit den Konvergenzkriterien für "normale " Reihen
Für komplexe Reihen sind es dann keine Konvergenzintervalle wie im Reellen, das Konvergenzgebiet ist dann das Innere des Kreises um [mm] $x_0$ [/mm] mit Radius $r$
LG
schachuzipus
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Hallo,
ich habe von dem Majorantenkriterium, Quotientenkriterium und Wurzelkriterium gelesen. Kann ich damit berechnen, für welche x die Potenzreihe konvergiert? Wenn ja, welche Methode ist die Beste oder sind alle gleichwertig?
Was bedeutet das "sup" in der Cauchy-Hadamard Formel und dem Wurzelkriterium?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Sa 27.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> ich habe von dem Majorantenkriterium, Quotientenkriterium
> und Wurzelkriterium gelesen. Kann ich damit berechnen, für
> welche x die Potenzreihe konvergiert?
nein, diese Krierien sind dazu da, die Konvergenz beliebiger Reihen (also nicht nur Potenzreihen) zu prüfen.
Für die Berechnung des K-Radius verwende die Formeln von schachuzipus.
> Wenn ja, welche
> Methode ist die Beste oder sind alle gleichwertig?
das kommt jeweils auf die Reihe an, die du vorliegen hast.
> Was bedeutet das "sup" in der Cauchy-Hadamard Formel und
> dem Wurzelkriterium?
"lim sup" ist der "limes superior", das Supremum aller Verdichtungspunkte. Ein Punkt heißt Verdichtungspunkt, wenn es eine Teilfolge gibt, die gegen ihn konvergiert.
Jede Folge hat mind. 1 Verdichtungspunkt (ggf. im unendlichen)
Gruß
Will
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![[turn]](/images/smileys/turn.gif "[turn]"){kind=small}
- schau nochmal nach - ich kann mich auch täuschen 
