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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Hallo50 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n} z^{n(n+1)} [/mm] und untersuchen Sie insbesondere das Konvergenzverhalten von f in den Punkten z=-1 bzw. z=i |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe zur Vorbereitung für meine Prüfung die obige Aufgabe gerechnet und würde gerne wissen, ob das so stimmt:
Den Konvergenzradius haben ich mit Cauchy-Hadamard bestimmt:
[mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{(-1)^n}{n}}} = \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-1}{\wurzel[n]{n}}}=-1 [/mm]
Das Konvergenzverhalten von f im Punkt z=-1 habe ich so gestimmt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n} (-1)^{n(n+1)} [/mm] Da [mm] n(n+1) [/mm] immer eine gerade Zahl ist, ist [mm] (-1)^{n(n+1) [/mm] immer [mm] =1 [/mm]
Also sieht die Summe so aus: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] und das ist ja gerade die alternierende harmonische Reihe und die ist bedingt konvergent.
Für den Punkt z=i habe ich das analog überlegt und kommt auf [mm] \summe_{n=1}^{\infty} - \bruch{(-1)^n}{n} [/mm]
und die ist ja auch bedingt konvergent.
Ist die Aufgabe damit gelöst??
Habe ich alles richtig gemacht? Oder wäre etwas anderes gefordert gewesen?
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Hi!
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n} z^{n(n+1)}[/mm] und
> untersuchen Sie insbesondere das Konvergenzverhalten von f
> in den Punkten z=-1 bzw. z=i
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe zur Vorbereitung für meine Prüfung die obige
> Aufgabe gerechnet und würde gerne wissen, ob das so
> stimmt:
> Den Konvergenzradius haben ich mit Cauchy-Hadamard
> bestimmt:
>
> [mm]\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{(-1)^n}{n}}} = \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-1}{\wurzel[n]{n}}}=-1[/mm]
>
Die Formel lautet aber: [mm] R=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\red{|} a_n \red{|}}} [/mm] mit R [mm] \in [0,\infty]
[/mm]
> Das Konvergenzverhalten von f im Punkt z=-1 habe ich so
> gestimmt:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n} (-1)^{n(n+1)}[/mm] Da
> [mm]n(n+1)[/mm] immer eine gerade Zahl ist, ist [mm](-1)^{n(n+1)[/mm] immer
> [mm]=1[/mm]
> Also sieht die Summe so aus: [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n}[/mm]
> und das ist ja gerade die alternierende harmonische Reihe
> und die ist bedingt konvergent.
Sieht ok aus!
> Für den Punkt z=i habe ich das analog überlegt und kommt
> auf [mm]\summe_{n=1}^{\infty} - \bruch{(-1)^n}{n}[/mm]
> und die ist
> ja auch bedingt konvergent.
>
Es ist aber doch [mm] $i^{4m} [/mm] = [mm] \red{+}1 [/mm] , [mm] m\in\mathbb{N} [/mm] $
> Ist die Aufgabe damit gelöst??
> Habe ich alles richtig gemacht? Oder wäre etwas anderes
> gefordert gewesen?
>
Grüße Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Di 12.08.2008 | | Autor: | Hallo50 |
Hallo, also da hätte zwei Rückfragen:
Die erste zum Konvergenzradius:
Die Formel lautet aber: $ [mm] R=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\red{|} a_n \red{|}}} [/mm] $ mit R $ [mm] \in [0,\infty] [/mm] $
Heißt das, der Konvergenzradius ist = 1 ?
Aber müsste man da nicht eine Fallunterscheidung machen?
Einmal
[mm] {|} \bruch{(-1)^{n}}{n} {|} = \bruch{-(-1)^{n}}{{|}n{|}}[/mm] und einmal [mm] {|} \bruch{(-1)^{n}}{n} {|} = \bruch{(-1)^{n}}{{|}n{|}}[/mm] ??
Meine zweite Frage bezieht sich auf das Konvergenzverhalten von f im Punkt z=i
Wegen $ [mm] i^{4m} [/mm] = [mm] \red{+}1 [/mm] , [mm] m\in\mathbb{N} [/mm] $ und $ [mm] i^{2m} [/mm] = -1 , [mm] m\in\mathbb{N} [/mm] $ nimmt [mm] i^{n(n+1)} [/mm] ja unterschiedliche Werte an. Was lässt sich dann über das Konvergenzverhalten von
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n} (i)^{n(n+1)} [/mm] $ aussagen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Di 12.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, also da hätte zwei Rückfragen:
> Die erste zum Konvergenzradius:
>
> Die Formel lautet aber:
> [mm]R=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\red{|} a_n \red{|}}}[/mm]
> mit R [mm]\in [0,\infty][/mm]
>
> Heißt das, der Konvergenzradius ist = 1 ?
Ja. Negativen Konvergenzradius gibt es nicht - was sollte das denn bedeuten?
> Aber müsste man da nicht eine Fallunterscheidung machen?
> Einmal
> [mm]{|} \bruch{(-1)^{n}}{n} {|} = \bruch{-(-1)^{n}}{{|}n{|}}[/mm]
> und einmal [mm]{|} \bruch{(-1)^{n}}{n} {|} = \bruch{(-1)^{n}}{{|}n{|}}[/mm]
> ??
Das verstehe ich nicht. Beide Formeln sind falsch, denn die linke Seite ist immer positiv, die rechte nicht.
[mm] \left|\bruch{(-1)^{n}}{n}\right| = \bruch{|-1|^n}{|n|} = \bruch{1}{n} [/mm]
> Meine zweite Frage bezieht sich auf das Konvergenzverhalten
> von f im Punkt z=i
>
> Wegen [mm]i^{4m} = \red{+}1 , m\in\mathbb{N}[/mm] und [mm]i^{2m} = -1 , m\in\mathbb{N}[/mm]
Letzteres stimmt nicht, sondern nur für ungerade m.
> nimmt [mm]i^{n(n+1)}[/mm] ja unterschiedliche Werte an. Was lässt
> sich dann über das Konvergenzverhalten von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n} (i)^{n(n+1)}[/mm]
> aussagen?
Schreib dir mal die Vorzeichen für die ersten 4 Terme hin. Dabei hilft
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n} (i)^{n(n+1)} = \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n} (-1)^{n(n+1)/2} = \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n(n+3)/2}}{n} [/mm]
Dann siehst du, dass das Muster immer + - - + ist und sich alle vier Terme wiederholt.
Viele Grüße
Rainer
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