Konvergenzradius < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 So 13.02.2005 | | Autor: | beta83 |
hallo leute,
ich hänge grad an einer aufgabe die auf den ersten blick recht einfach aussieht aber im weiteren verlauf mich überforedert.
Die aufgabe lautet: man bestimme den konvergenzradius R und die absolute konvergenz für |z| = R der folgenden potenzreihe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
ich habe den konvergenzradius ganz einfach über [Dateianhang nicht öffentlich] berechnet und für R=1/3 für gerade hochzahlen und R=1 für ungerade rausbekommen. das war ja noch einfach. dann muss ich ja die randwerte betrachten und aussagen über die konvergenz mit |z| = R treffen. hier häng ich aber und weiss nicht wie des anstellen soll.
ich bitte euch um eure hilfe und bedanke mich für jeden vorschlag.
gruß beta
ich habe diese frage in kein anderes forum gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Also,
das ganze kannst du natürlich ganz einfach über das Wuzelkriterium bestimmen indem du sagst nach der Formel für den Konergenzradius:
[mm] R=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} n-te \wurzel{a_{n}}}
[/mm]
dein [mm] a_{n} [/mm] wäre in deiner Aufgabe [mm] (2+(-1)^{n})^{n}
[/mm]
so
und um nun zu untersuchen was an den Rändern passiert, setzt du einfach
die Ränder ein und untersuchst was dabei passiert,
also was passiert wenn du 1/3 oder 1 einsetzt.
das war der ganze zauber
greetz dschingis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 So 13.02.2005 | | Autor: | beta83 |
danke als erstes,
aber soweit hab ich es es auch noch hingekriegt das ich |z|=R einsetze und auf konvergenz überprüfe.
aber nach einer kurzlösung die ich mir eben besorgt habe konvergiert die reihe für alle |z|<1/3 und divergiert für alle |z|>1/3 kannst du mir erklären wie das zustande kommt und wie ich das zeigen kann? wenn ich z=R einsetze bekomme ich eine divergente reihe . wie kann ich das für |z|<1/3 und |z|>1/3 überprüfen?
|
|
|
| |
|
Mit dem konvergenzradius überprüfst du ja gerade, für welche z die Reihe konvergiert und für welche nicht.
Du bekommst als Radius |z|<1/3 heraus?
dann konvergiert die Reihe für alle |z| die kleiner als ein drittel sind.
und durch diese Einschränkung bedingt, divergiert die Reihe für alles |z| > 1/3
soweit so gut du weißt nun für welche z die Reihe konvergiert und für welche sie divegriert. Jetzt muß nur noch der Rand untersucht werden, sprich |z| = 1/3 und da kann es sein, dass die Reihe konvergiert, oder eben divergiert.
Das ist unterschiedlich.
Also nochmal:
Mit dem Konvergenzradius erhältst du die |z| für welche die Reihe konvergiert und zwar sind das diese, die kleiner als R (der Radius) sind
und für welche er divergiert, die die größer als R sind.
Du mußt dann nur noch untersuchen, was bei z= R passiert. no more no less
es muß nicht bewiesen werden, dass |z| < R konvergiert weil es ja durch die Definition schon so festgelegt ist.
Noch Fragen?
greetz
Dschingis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 So 13.02.2005 | | Autor: | beta83 |
danke. keine fragen mehr, hab nun alles verstanden. das problem war das ich nicht wußte das für |z| <R alles konvergiert und für |z| >R alles divergiert. über die absolute konvergenz für |z|=R (in der aufgabenstellung) ergeben sich dann diese 2 definitionen wenn ich dich richtig verstanden habe.
|
|
|
|
