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| Aufgabe | Bereche den Konvergenzradius von
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(2n-3)!!}{2^n n!}z^n [/mm] |
Hallo
Konvergenzradius, Definition:
p = [mm] \frac{1}{\stackrel{limsup}{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}
[/mm]
Aus der Definition des Konvergenzradius habe ich mir hergeleitet:
H := [mm] \stackrel{limsup}{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}
[/mm]
ln(H) = [mm] \stackrel{limsup}{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}ln(|a_n|) [/mm] := D
Also H = [mm] e^D
[/mm]
p = [mm] \frac{1}{\stackrel{limsup}{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}} [/mm] = [mm] \frac{1}{H} [/mm] = [mm] e^{-D}
[/mm]
Betrachte nun:
[mm] \stackrel{limsup}{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}ln\left(\left|\frac{(2n-3)!!}{2^n n!}\right|\right)
[/mm]
diesen ausruck habe ich jetzt schon seitenweise umgeformt, komme aber auf keinen ausdruck, welchen ich abschätzen könnte.
Als Tipp haben wir vom Prof noch bekommen:
[mm] ln(n!)\approx [/mm] n ln(n)
[mm] ln(n!!)\approx \frac{n}{2} [/mm] ln(n)
(diese tipps habe ich beim umfrmen natürlich auch benutzt)
Evtl. sieht ja einer von Euch direkt, was man hier machen kann...
LG,
HP
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Hallo HP,
> Bereche den Konvergenzradius von
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> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(2n-3)!!}{2^n n!}z^n[/mm]
>
> Hallo
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> Konvergenzradius, Definition:
>
> [mm] $p=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}$
[/mm]
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> Aus der Definition des Konvergenzradius habe ich mir
> hergeleitet:
>
> [mm] $H:=\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}$
[/mm]
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> [mm] $\ln(H)=\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\ln(|a_n|):=D$
[/mm]
>
> Also [mm] $H=e^D$
[/mm]
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> [mm] $p=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}=\frac{1}{H}=e^{-D}$
[/mm]
>
> Betrachte nun:
>
> [mm] $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\ln\left(\left|\frac{(2n-3)!!}{2^n n!}\right|\right)$
[/mm]
>
> diesen ausruck habe ich jetzt schon seitenweise umgeformt,
> komme aber auf keinen ausdruck, welchen ich abschätzen
> könnte.
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> Als Tipp haben wir vom Prof noch bekommen:
> [mm] $\ln(n!)\approx n\ln(n)$
[/mm]
> [mm] $\ln(n!!)\approx \frac{n}{2}\ln(2)$
[/mm]
>
> (diese tipps habe ich beim umfrmen natürlich auch benutzt)
>
> Evtl. sieht ja einer von Euch direkt, was man hier machen
> kann...
Benutze die bekannten Logarithmusgesetze und die hinweise deines Profs:
[mm] $\frac{1}{n}\ln\left|\frac{(2n-3)!!}{2^n n!}\right|=\frac{1}{n}\cdot{}\left(\ln|(2n-3)!!|-\ln\left|2^n n!\right|\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{n}\cdot{}\left(\ln|(2n-3)!!|-(n\ln(2)+\ln|n!|)\right)$
[/mm]
[mm] $\underbrace{\approx}_{\text{Hinweis}}\frac{1}{n}\cdot{}\left(\frac{2n-3}{2}\ln(2)-n\ln(2)-n\ln(n)\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{2n-3}{2n}\ln(2)-\ln(2)-\ln(n)=\frac{2n\left(1-\frac{3}{2n}\right)}{2n}\ln(2)-\ln(2)-\ln(n)$
[/mm]
[mm] $=\left(1-\frac{3}{2n}\right)\ln(2)-\ln(2)-\ln(n) [/mm] \ [mm] \longrightarrow (1-0)\ln(2)-\ln(2)-\infty=-\infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
> LG,
> HP
Gruß
schachuzipus
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