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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Di 12.05.2009 | | Autor: | n0000b |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie den Konvergenzradius |
Hallo,
folgende Potenzreihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{n}}{n!}*x^{n}
[/mm]
Daraus habe ich [mm] r=\bruch{1}{e} [/mm] ermittelt.
D.h. [mm] -\bruch{1}{e}
Nun ist die Frage ob es auch für [mm] x=-\bruch{1}{e} [/mm] und/oder [mm] x=\bruch{1}{e} [/mm] gilt. Wie muss ich da vorgehen?
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Hallo n0000b,
> Ermitteln Sie den Konvergenzradius
> Hallo,
>
> folgende Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{n}}{n!}*x^{n}[/mm]
>
> Daraus habe ich [mm]r=\bruch{1}{e}[/mm] ermittelt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> D.h. Konvergenz für [mm]-\bruch{1}{e}
>
> Nun ist die Frage ob es auch für [mm]x=-\bruch{1}{e}[/mm] und/oder
> [mm]x=\bruch{1}{e}[/mm] gilt. Wie muss ich da vorgehen?
Lt. Aufgabenstellung brauchst du das zwar nicht, aber wenn du es machen willst, setze die Randwerte für x in die Reihe ein und untersuche sie mit den üblichen Konvergenzkriteriun für "normale" Reihen.
Hilfreich kann die Stirling-Formel sein, die dir eine Näherung für $n!$ gibt:
[mm] $n!\approx \sqrt{2\pi n}\cdot{}\left(\frac{n}{e}\right)^n$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Di 12.05.2009 | | Autor: | n0000b |
D.h. ich könnte z.B. mit dem Quotientenkriterium arbeiten:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}*(\bruch{1}{e})^{n+1}}{\bruch{n^{n}}{n!}*(\bruch{1}{e})^{n}}\right)
[/mm]
Würde das dann so aussehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> D.h. ich könnte z.B. mit dem Quotientenkriterium arbeiten:
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}*(\bruch{1}{e})^{n+1}}{\bruch{n^{n}}{n!}*(\bruch{1}{e})^{n}}[/mm]
>
> Würde das dann so aussehen?
Ja, aber es nutzt Dir wenig, denn
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= [/mm] 1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Di 12.05.2009 | | Autor: | n0000b |
Stimmt 
Was könnte man sonst machen?
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Hallo n0000b!
Entweder wendest Du - wie bereits oben vorgeschlagen - die Stirling-Formel an.
Oder probiere es mal mit dem Wurzelkriterium.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:57 Di 12.05.2009 | | Autor: | n0000b |
Also:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\wurzel[n]{a_{n}}\right)=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\wurzel[n]{\bruch{n^{n}}{n!}*\left(\bruch{1}{e}\right)^{n}}\right)$
[/mm]
?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 14.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Oder probiere es mal mit dem Wurzelkriterium.
Das bringt nichts:
Wenn das Quotientenkriterium "versagt", so "versagt" auch das Wurzelkriterium, denn es gilt:
Ist [mm] (a_n) [/mm] eine Folge positiver Zahlen und ist [mm] (\bruch{a_{n+1}}{a_n}) [/mm] konvergent, so ist auch [mm] (\wurzel[n]{a_n}) [/mm] konvergent und
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}= \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n}$
[/mm]
Fred
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:02 Di 12.05.2009 | | Autor: | n0000b |
Hallo,
es muss aber noch eine andere Lösung geben, wenn auch das Wurzelkriterium nicht geht. Die Stirling-Formel hatten wir noch nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Di 12.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke ohne ne Abschaetzung fuer n! also Stirlingformel kommst du nicht hin. aber da es in der Aufgabe ja nicht verlangt war, kannst du sie ja, wenns nur fuer dich ist auch verwenden.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Di 12.05.2009 | | Autor: | n0000b |
Es steht zwar nicht explizit in der Aufgabenstellung, wird aber trotzdem gefordert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es steht zwar nicht explizit in der Aufgabenstellung, wird
> aber trotzdem gefordert
Ja was jetzt ?? Wie lautet denn die Aufgabenstellung ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Di 12.05.2009 | | Autor: | n0000b |
Die Aufgabenstellung lautet:
Ermitteln Sie den Konvergenzradius
Zusatz: Überprüfung ob der ermittelte Grenzwert (in diesem Fall [mm] $\bruch{1}{e}$) [/mm] selbst ebenfalls konvergiert.
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