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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:20 Do 11.06.2009 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | | [mm] 1-6x+x²-x^6+x^7 [/mm] |
Ist das überhaupt ein Potenzreihe.
Und wie geht man mit soetwas am besten um?
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> [mm]1-6x+x²-x^6+x^7[/mm]
> Ist das überhaupt ein Potenzreihe.
Hallo,
um diese Frage zu beantworten, schau doch erstmal nach, wie Ihr Potenzreihe definiert habt, und versuche anhand dessen festzustellen, ob es eine ist oder nicht.
Falls es hierbei Schwierigkeiten gibt, formuliere diese.
Dann kann man sinnvoll helfen.
> Und wie geht man mit soetwas am besten um?
Wie man mit irgendwas umgeht, hängt davon ab, was man vorhat:
Nehmen wir das Brombeergestrüpp in meinem Garten: will ich Brombeeren ernten, so hege und pflege ich die stachelige Last, möchte ich von meinem garten etwas anderes sehen las das gestrüpp, grabe ich es mitsamt Wurzeln aus. (Und tue dies Jahr für Jahr.)
Langer Rede kurzer Sinn: Du solltest uns ruhig mal die genaue Aufgabenstellung verraten, dazu am besten noch eigene Lösungsansätze und Überlegungen.
Ich habe aufgrund der Überschrift das dumpfe Gefühl, daß es irgendwie um "Konvergenzradius" geht.
Wie ist Konvergenzradius definiert, welche Möglichkeiten zur Berechnung sind Dir bekannt, an welcher Stelle gibt es Probleme?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Do 11.06.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Ja, es geht um den Konvergenzradius.
In der Definition steht bei uns nur, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^n [/mm] mit [mm] x\in\IR,x_0 \in\IR, [/mm] und wenn [mm] (a_n)_{n\in \IN_{0}}
[/mm]
Und da ich sowas eigentlich überhaupt nicht habe, bin ich gerade etwas aufgeschmissen.
Ich hab schon überlegt die Summanden irgendwie zu eine Summe zu basteln, aber 1. habe ich keine Gefunden, 2. muss es ja eine Reihe sein und die müsste ja bis [mm] \infty [/mm] gehn ...
Also ich weiß hier echt nicht so wirklich weiter.
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> In der Definition steht bei uns nur, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^n[/mm] mit [mm]x\in\IR,x_0 \in\IR,[/mm]
> und wenn [mm](a_n)_{n\in \IN_{0}}[/mm]
> Und da ich sowas eigentlich
> überhaupt nicht habe, bin ich gerade etwas aufgeschmissen.
> Ich hab schon überlegt die Summanden irgendwie zu eine
> Summe zu basteln, aber 1. habe ich keine Gefunden, 2. muss
> es ja eine Reihe sein und die müsste ja bis [mm]\infty[/mm] gehn
> ...
> Also ich weiß hier echt nicht so wirklich weiter.
Hallo,
wenn Du [mm] x_0=0 [/mm] hast, wird [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^n [/mm] zu [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}x^n [/mm] und sieht
> > $ [mm] 1-6x+x²-x^6+x^7 [/mm] $
doch gleich etwas ähnlicher.
Nun überlege Dir, was in Deiner Reihe
[mm] a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, a_9, a_{10}, a_{11}, a_{12}, a_{13} [/mm] ...
sind.
Vielleicht siehst Du dann etwas klarer.
Du bist nicht gezwungen, die [mm] a_n [/mm] etwa so wie [mm] a_n= 12n^2+sin(n) [/mm] anzugeben - falls das Dein Problem ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 So 14.06.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Ah ok.
Das hat meine Sicht jetzt natürlich gleich geändert. Das man das auch so sehen kann war mir nicht klar.
D.h. also ich habe:
0,-6,1 für [mm] a_0,a_1,a_2 [/mm] aber was mache ich jetzt mit [mm] a_3, [/mm] weil da gibts ja nix?
Es gibts ja keinen Summanden mit [mm] a_3*x³ [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 So 14.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo xtraxtra!
Dann gilt: [mm] $a_3 [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 So 14.06.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Aha.
Dann habe ich also:
[mm] a_0=1, a_1=-6, a_2=1, a_3=0, a_4=0, a_5=0, a_6=-1, a_7=1, a_8=0, a_9=0 [/mm] ...
Und wie prüfe ich jetzt hier die Konvergenz?
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> Aha.
> Dann habe ich also:
> [mm]a_0=1, a_1=-6, a_2=1, a_3=0, a_4=0, a_5=0, a_6=-1, a_7=1, a_8=0, a_9=0[/mm]
> ...
> Und wie prüfe ich jetzt hier die Konvergenz?
Hallo,
Du hast hier ja eine endliche Reihe, und die Konvergenz ist überhaupt kein Problem.
Oder kannst Du Dir irgendein a denken, bei welchem für f(a) keine schöne, eindeutige, feste Zahl herauskommt? Dieses Problem hat man doch nur, wenn man unendlich viele Glieder aufsummiert.
Für welche [mm] x\in \IR [/mm] konvergiert die Reihe also?
Du kannst natürlich auch mit der Formel von Cauchy-Hadamard anrücken. mach das mal!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 So 14.06.2009 | | Autor: | xtraxtra |
D.h. also, dass ich einen Konvergenzradius von [mm] \infty [/mm] habe?
Denn jede Zahl [mm] \in \IR [/mm] kann ja für x eingesetzt werden und und die Reihe konvergiert
Richtig so?
Noch eine Frage:
Ich habe [mm] \summe_{n=90}^{\infty}(2n+5)!(x+4!)^{n}
[/mm]
Hier habe ich substituiert mit t=x+4!
[mm] =>\summe_{n=90}^{\infty}a_n t^{n} [/mm] mit [mm] a_n=(2n+5)!
[/mm]
Hier folgt dann mit dem Quotientenkriterium bei mir, das [mm] \rho_t=0
[/mm]
Was heißt das dann für [mm] \rho [/mm] also wie "resubstituiert" man da?
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> D.h. also, dass ich einen Konvergenzradius von [mm]\infty[/mm]
> habe?
> Denn jede Zahl [mm]\in \IR[/mm] kann ja für x eingesetzt werden und
> und die Reihe konvergiert
> Richtig so?
>
> Noch eine Frage:
> Ich habe [mm]\summe_{n=90}^{\infty}(2n+5)!(x+4!)^{n}[/mm]
> Hier habe ich substituiert mit t=x+4!
> [mm]=>\summe_{n=90}^{\infty}a_n t^{n}[/mm] mit [mm]a_n=(2n+5)![/mm]
> Hier folgt dann mit dem Quotientenkriterium bei mir, das
> [mm]\rho_t=0[/mm]
> Was heißt das dann für [mm]\rho[/mm] also wie "resubstituiert" man
> da?
Hallo,
wenn Du einen Konvergenzradius r hast, bedeutet daß ja, daß die Reihe für alle t mit |t|<r konvergiert und für alle t mit |t|>r nicht konvergiert.
Du hast nun r=0, also konvergiert die Reihe für kein [mm] t\not=0.
[/mm]
Ob sie für t=0, also x+4!=0 konvergiert, müßtest Du noch herausfinden, sofern nicht nur nach dem Konvergenzradius gefragt ist, sondern auch danach, für welche x die Reihe konvergiert.
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Mal angenommen, Du hast so ein t=x+4! und stellst irgendwann mal bei einer Reihe fest, daß 2 der Konvergenzradius ist.
Das bedeutet, daß die Reihe für |t|=|x+4!| <2 konvergiert, also für -2-4! <x<2-4!, die Konvergenz für x= -2-4! und x=2-4! muß in dme Fall noch gesondert untersucht werden.
Gruß v. Angela
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