Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Mo 30.11.2009 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | Bestimme den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:
a) [mm] \summe_{n=0}^\infty \bruch{(-1)^n}{n!(n+k)!}(\bruch{z}{2})^{2n+k}, [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^\infty \bruch{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1} [/mm] |
Hallo,
mein Problem ist folgendes: eine Potenzreihe ist ja definiert als [mm] \summe a_{n}z^n.
[/mm]
Bei den Reihen oben steht aber [mm] z^{2n+k} [/mm] bzw. [mm] z^{2n+1}.
[/mm]
Kann man trotzdem die Kriterien von Cauchy-Hadamard [mm] (R=\bruch{1}{limsup\wurzel[n]{|a_n|}}) [/mm] und Euler [mm] (R=\bruch{1}{lim \bruch{a_{n+1}}{a_n}}) [/mm] anwenden und falls ja, mit welchem Argument?
Ich hatte mir überlegt, dass man ja erstmal [mm] z^n [/mm] betrachten kann, dort Konvergenz zeigt und dann argumentiert, dass jede Teilfolge (Potenzreihe als Folge von Partialsummen betrachtet) auch in diesem Konvergenzradius konvergieren muss.
Aber ich glaube das ist nicht ganz richtig, denn angenommen man findet, dass der Konvergenzradius für die Potenzreihe mit [mm] z^n [/mm] gleich 0 ist, dann könnte es doch eine Teilfolge geben, die einen größeren Konvergenzradius hat, oder?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:10 Di 01.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu b): $ [mm] \summe_{n=0}^\infty \bruch{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1}=\summe_{k=0}^\infty a_kz^k [/mm] $
mit [mm] $a_{2k+1}= \bruch{(-1)^k}{2k+1}$ [/mm] und [mm] $a_{2k}=0$ [/mm] für $k [mm] \in \IN_0$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:59 Di 01.12.2009 | | Autor: | wee |
Danke für die Antwort!
Bei b) habe ich deine Idee genommen und dann mit Cauchy-Hadamard gezeigt, dass der Konvergenzradius 1 ist.
Bei a) liegt ja so eine Unterteilung nicht auf der Hand. Wenn man aber mal mit [mm] z^n [/mm] anstatt [mm] z^{2n+k} [/mm] rechnet, dann liefert die Formel von Euler (Q-Krit.), dass der Konvergenzradius [mm] \infty [/mm] ist, die Reihe also überall konvergiert. Kann man da jetzt so argumentieren, dass weil die Reihe überall konvergiert, auch Teilfolgen überall konvergieren, also auch [mm] \summe a_nz^{2n+k}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Do 03.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
