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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Pogohasi |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius p der Potenzreihe:
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] n! [mm] z^n
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] 4n / [mm] 4n^2 [/mm] z^2n |
Ich weiß, dass sich die Aufgaben mithilfe des Quotientenkriteriums lösen lassen müssten,aber wie genau ich da jetzt was einsetzen muss,will mir einfach nicht in den Kopf gehen.
Wenn mir jemand eine Aufgabe genau erklären könnte,wäre ich sehr dankbar...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Sa 02.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum verwendest du nicht einfach die Formel fuer dn Konvergenzradius mit [mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|a_n/a_{n+1}|
[/mm]
Der GW ist so einfach, dass du ihn einfach sehen musst.
die [mm] a_n [/mm] sind dabei die faktoren bei [mm] z^n [/mm] also ohne [mm] z^n
[/mm]
bei b erstze [mm] z^{2n} [/mm] durch [mm] w=z^2 [/mm] und find r fuer w.
Sonst zeig, wie weit du kommst, und wo du steckenbleibst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Pogohasi |
Soweit war ich im Kopf ja auch schon-aber ich verstehe einfach nicht,was ich jetzt genau in die Formel für den Radius einsetzen soll.
Das [mm] z^n [/mm] fällt ja weg,nicht wahr?
Also bleibt n! übrig,aber was mache ich damit...?
Ich bin verwirrt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Sa 02.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Pogohasi
[mm] z^n [/mm] "faellt nicht weg, sondern kommt in der formel nicht vor. also [mm] a_n=n! [/mm] dann findest du sicher [mm] a_{n+1}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Pogohasi |
Wenn [mm] a_{n} [/mm] = n! ist, was ist dann [mm] a_{n+1} [/mm] ?
Das ist es ja,was mich verwirrt o.O
(Ich bin ein schwieriger Fall,tut mir leid...)
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> Wenn [mm]a_{n}[/mm] = n! ist, was ist dann [mm]a_{n+1}[/mm] ?
[mm] a_{n+1}=(n+1)!
[/mm]
> Das ist es ja,was mich verwirrt o.O
>
> (Ich bin ein schwieriger Fall,tut mir leid...)
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Pogohasi |
Ich fasse also zusammen:
p= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |n!| / |(n+1)!|
Soweit so gut - jetzt muss man möglichst große Werte für n einsetzen,nicht wahr?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Sa 02.01.2010 | | Autor: | nooschi |
mooment, am einfachsten zuerst kürzen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup|\bruch{n!}{(n+1)!}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup|\bruch{1}{n+1}|
[/mm]
so sollte man die Lösung sehen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Pogohasi |
Naja,man sieht jetz,dass das Ergebnis gen Null geht,würde ich sagen.
(Oder? o.O)
Und was ist jetzt das Ergebnis?
Null oder was?
Kann man bei solchen Aufgaben auch bestimmte Werte (Zum Beispiel 4 oder 0,3 rausbekommen - nur so zum Verständnis?
Das müsste doch gehen,bis hin zur Unendlich,oder?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Sa 02.01.2010 | | Autor: | nooschi |
was du bekommst ist der Konvergenzradius. Bei dem Beispiel ist das 0, ja.
Aus dem kannst du jetzt schliessen, dass die Reihe konvergiert für alle |z|<0. Solche z existieren natürlich nicht. Was wir auch schliessen können, ist, dass die Reihe divergiert für |z|>0. Man kann sich jetzt noch überlegen, was passiert, wenn |z|=0 ist...
Für den Konvergenzradius kannst du jede Beliebige positive Zahl bekommen, auch unendlich. (zB bei [mm] \summe\bruch{z^{n}}{n!} [/mm] ist der konvergenzradius unendlich und kann ganz analog zu deinem Beispiel berechnet werden, nur dass der Bruch genau umgekehrt ist)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 03.01.2010 | | Autor: | Pogohasi |
Bei Aufgabe 5 ersetze ich also [mm] z^2 [/mm] durch w und erhalte dann
[mm] \summe_{=0}^{\infty} 4^n [/mm] / [mm] 4n^2 w^n [/mm] oder?
Kann ich dann einfach den Bruch kürzen oder muss ich den so stehen lassen?
Und was genau setze ich dann in die Formel vor [mm] a_{n} [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 So 03.01.2010 | | Autor: | nooschi |
du musst dich zuallererst mal entscheiden, ob du [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4^{n}}{4*n^{2}}*w^{n} [/mm] meinst, oder [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{4^{n}}{4*n^{2}}*w^{n} [/mm] oder was ich weiter oben auch schon von dir gesehen habe ist: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4*n}{4*n^{2}}*w^{n}
[/mm]
kürzen darfst du natürlich.
Einsetzen musst du das Ding, das zwischen dem Summenzeichen und dem [mm] w^{n} [/mm] steht, was jetzt auch immer das sein mag.
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