Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 So 28.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | | Für welche z [mm] \in \IC [/mm] konvergiert [mm] \summe_{n}^{\infty} \bruch{z^n}{2^n+n^2} [/mm] |
Guten Abend,
hab mit der Aufgabe mal angefangen aber bin mir da unsicher ob ich das richtig gemacht hab:
[mm] \summe_{n}^{\infty} \bruch{z^n}{2^n+n^2}
[/mm]
= [mm] \summe_{n}^{\infty} \bruch{1}{2^n+n^2} *z^n
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{2^n+n^2}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{2^n+n^2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel[n]{2^n(1+\bruch{n^2}{2^n}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2* \wurzel[n]{1+\bruch{n^2}{2^n}}}
[/mm]
bin bis hier hin gekommen aber bin mir nicht sicher ob das richtig ist und wie ich weiter machen soll!
Gruß peeetaaa
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Hallo,
> Für welche z [mm]\in \IC[/mm] konvergiert [mm]\summe_{n}^{\infty} \bruch{z^n}{2^n+n^2}[/mm]
>
> Guten Abend,
>
> hab mit der Aufgabe mal angefangen aber bin mir da unsicher
> ob ich das richtig gemacht hab:
>
> [mm]\summe_{n}^{\infty} \bruch{z^n}{2^n+n^2}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{n}^{\infty} \bruch{1}{2^n+n^2} *z^n[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{2^n+n^2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[n]{2^n+n^2}}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{\wurzel[n]{2^n(1+\bruch{n^2}{2^n}}}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2* \wurzel[n]{1+\bruch{n^2}{2^n}}}[/mm]
>
> bin bis hier hin gekommen aber bin mir nicht sicher ob das
> richtig ist und wie ich weiter machen soll!
Du hast richtig gerechnet, allerdings ist der Ansatz nicht ganz richtig:
$r = [mm] \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}}$.
[/mm]
Besser für dein Problem eignet sich vielleicht die Regel
$r = [mm] \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|$.
[/mm]
Klammere in Zähler und Nenner [mm] 2^{n} [/mm] aus und nutze deine Kenntnisse, dass [mm] 2^{n} [/mm] wesentlich "schneller" gegen unendlich geht als [mm] n^{2}.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 So 28.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Für welche z [mm]\in \IC[/mm] konvergiert [mm]\summe_{n}^{\infty} \bruch{z^n}{2^n+n^2}[/mm]
>
> Guten Abend,
>
> hab mit der Aufgabe mal angefangen aber bin mir da unsicher
> ob ich das richtig gemacht hab:
>
> [mm]\summe_{n}^{\infty} \bruch{z^n}{2^n+n^2}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{n}^{\infty} \bruch{1}{2^n+n^2} *z^n[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{2^n+n^2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[n]{2^n+n^2}}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{\wurzel[n]{2^n(1+\bruch{n^2}{2^n}}}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2* \wurzel[n]{1+\bruch{n^2}{2^n}}}[/mm]
wie Stefan schon sagte, da stimmt nicht alles so ganz. Ausserde mfehlt in den letzten beiden Zeilen das [mm] $\limsup$.
[/mm]
Um [mm] $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{2^n + n^2}$ [/mm] auszurechnen, benutze [mm] $2^n \le 2^n [/mm] + [mm] n^2 \le [/mm] 2 [mm] \cdot 2^n$. [/mm] Das ![[]](/images/popup.gif) Sandwich-Lemma liefert $2 = [mm] \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{2^n} \le \liminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{2^n + n^2} \le \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{2^n + n^2} \le \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{2 \cdot 2^n} [/mm] = 2$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mi 10.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
wollte hierbei nur noch mal sicher gehen!
der Konverzenzradius ist ja 2
das heißt die Reihe konvergiert für |z|<2
und divergiert für |z|>2
jetzt wollte ich überprüfen was für z=2 und z=-2 ist:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^n}{2^n+n^2}
[/mm]
Prüfe ob es eine Nullfolge ist:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n}{2^n+n^2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+ \bruch{n^2}{2^n} }
[/mm]
da [mm] n^2<2^n [/mm] ist, gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2}{2^n} [/mm] = 0
also gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+ \bruch{n^2}{2^n} }= [/mm] 1
da es keine Nullfolge ist, ist die Reihe für z=2 divergent?
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Hallo Peter,
> wollte hierbei nur noch mal sicher gehen!
> der Konverzenzradius ist ja 2
> das heißt die Reihe konvergiert für |z|<2
> und divergiert für |z|>2
>
> jetzt wollte ich überprüfen was für z=2 und z=-2 ist:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^n}{2^n+n^2}[/mm]
> Prüfe ob es eine Nullfolge ist:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n}{2^n+n^2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+ \bruch{n^2}{2^n} }[/mm]
>
> da [mm]n^2<2^n[/mm] ist, gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2}{2^n}[/mm]
> = 0
> also gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+ \bruch{n^2}{2^n} }=[/mm] 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> da es keine Nullfolge ist, ist die Reihe für z=2
> divergent?
Ganz genau!
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
eine kurze Anmerkung aber doch noch!
> wollte hierbei nur noch mal sicher gehen!
> der Konverzenzradius ist ja 2
> das heißt die Reihe konvergiert für |z|<2
> und divergiert für |z|>2
>
> jetzt wollte ich überprüfen was für z=2 und z=-2 ist:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^n}{2^n+n^2}[/mm]
> Prüfe ob es eine Nullfolge ist:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n}{2^n+n^2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+ \bruch{n^2}{2^n} }[/mm]
>
> da [mm]n^2<2^n[/mm] ist,
Das reicht als Begründung nicht!
Es ist ja auch [mm] $n^2<2n^2$, [/mm] aber [mm] $\frac{n^2}{2n^2}=\frac{1}{2}$ [/mm] strebt für [mm] $n\to \infty$ [/mm] nicht gegen 0
Zeige besser: [mm] $2^n\ge n^3$ [/mm] ab einem gewissen n, also [mm] $\frac{n^2}{2^n}\le \frac{n^2}{n^3}=\frac{1}{n}$ [/mm] usw.
> gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2}{2^n}[/mm]
> = 0
> also gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+ \bruch{n^2}{2^n} }=[/mm]
> 1
> da es keine Nullfolge ist, ist die Reihe für z=2
> divergent?
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Mi 10.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
ach okay! dann werde ich das auch noch berücksichtigen!!! danke!
aber für z=-2 bin ich mir nicht ganz so sicher!
Hier muss ich ja das Leibnitz--Kriterium anwenden
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-2)^n}{2^n+n^2}
[/mm]
sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-2)^n [/mm] * [mm] a_n
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-2)^n* \bruch{1}{2^n+n^2}
[/mm]
dann gilt [mm] a_n>0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2^n+n^2} [/mm] >0
[mm] a_n> a_{n+1}
[/mm]
es [mm] gilt:\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n+n^2}= [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{3}+ \bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{17} [/mm] + ....
also sieht man dass das erfüllt ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2^n+n^2} [/mm] =0
da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (2^n+n^2)= \infty [/mm] geht der Bruch gegen 0
und deshalb ist die Reihe für z=-2 divergent?
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Hallo Peter,
nee, das passt nicht.
Leibniz - ohne t!! - kannst du hier leider vergessen.
Für $x=-2$ hast du [mm] $\sum\frac{(-2)^n}{2^n+n^2}=\sum (-1)^n\cdot{}\frac{2^n}{2^n+n^2}$
[/mm]
Also [mm] $\sum (-1)^n a_n$, [/mm] wobei [mm] $(a_n)$ [/mm] keine Nullfolge ist (wie im Falle $x=2$)
Damit kannst du Leibniz knicken!
Aber wieder mit Blick auf das Trivialkriterium:
Ist [mm] $\left(\frac{(-2)^n}{2^n+n^2}\right)$ [/mm] eine Nullfolge?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Fr 12.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Also ich hätte jetzt gesagt, dass [mm] \left(\frac{(-2)^n}{2^n+n^2}\right) [/mm] keine Nullfolge ist:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{(-2)^n}{2^n+n^2}\right)
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)*2^n}{2^n + n^2}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)}{1+ \bruch{n^2}{2^n} } [/mm] = -1
kann man das so machen?
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Hallo peeetaaa!
Das stimmt so nicht ganz, da gilt:
[mm] $$(-2)^n [/mm] \ = \ [mm] \left[(-1)*2\right]^n [/mm] \ = \ [mm] (-1)^{\red{n}}*2^n$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Mo 01.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Das hatten wir kürzlich schon:
https://matheraum.de/read?t=658793
FRED
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