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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Fr 23.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Konvergenzradien und die Funktionen die sie darstellen
[mm] i)\summe_{k=1}^{\infty}kx^k ii)\summe_{k=1}^{\infty}k^2x^k [/mm] |
Hallo,
zu i) habe ich die Formel von Hadamard angewendet:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}kx^k \summe_{k=1}^{\infty}k^kx^k [/mm]
[mm] r=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}sup\wurzel[k]{k^k}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}sup k}=0
[/mm]
Da r=0 ist konvergiert die Potenzreihe für x=0.
Stimmt das soweit? Und was ist mit ''die Funktionen die sie darstellt'' gemeint? Das hatten wir noch nicht in den Übungen.
Danke im voraus.
Lg Melisa
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Hallo,
> Bestimmen sie die Konvergenzradien und die Funktionen die
> sie darstellen
>
> [mm]i)\summe_{k=1}^{\infty}kx^k ii)\summe_{k=1}^{\infty}k^2x^k[/mm]
>
> Hallo,
>
> zu i) habe ich die Formel von Hadamard angewendet:
>
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}kx^k \summe_{k=1}^{\infty}k^kx^k[/mm]
>
> [mm]r=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}sup\wurzel[k]{k^k}} [/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist doch hier [mm] $a_k=k$
[/mm]
Also ist gem. Cauchy-Hadamard zu berechnen [mm] $\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|k|}}$
[/mm]
Rechne nochmal nach ...
> [mm]=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}sup k}=0[/mm]
>
> Da r=0 ist konvergiert die Potenzreihe für x=0.
Das tut sie sowieso, jede Potenzreihe konvergiert (mindestes) in ihrem Entwicklungspunkt 
>
> Stimmt das soweit? Und was ist mit ''die Funktionen die sie
> darstellt'' gemeint? Das hatten wir noch nicht in den
> Übungen.
Das sollst du dir ja auch überlegen.
Ich gebe dir mal dieen Tipp:
Du kennst die geometr. Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k$ [/mm] und weißt, dass sie für $|x|<1$ konvergiert, und zwar gegen ...
Innerhalb ihres Konvergenzgebietes darfst du eine Potenzreihe gliedweise ableiten, der Konvergenzradius ändert sich nicht.
Mache das mal für die geometr. Reihe ...
>
> Danke im voraus.
>
> Lg Melisa
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Stimmt das soweit? Und was ist mit ''die Funktionen die sie
> > darstellt'' gemeint? Das hatten wir noch nicht in den
> > Übungen.
>
> Das sollst du dir ja auch überlegen.
>
> Ich gebe dir mal dieen Tipp:
>
> Du kennst die geometr. Reihe [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k[/mm]
> und weißt, dass sie für [mm]|x|<1[/mm] konvergiert, und zwar gegen
> ...
>
> Innerhalb ihres Konvergenzgebietes darfst du eine
> Potenzreihe gliedweise ableiten, der Konvergenzradius
> ändert sich nicht.
>
> Mache das mal für die geometr. Reihe ...
Ich ergänze den Tipp mal, damit es noch klarer wird:
Anstatt [mm] $\sum_{k=0}^\infty x^k$ [/mm] darf man für $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] auch
[mm] $$\frac{1}{1-x}$$
[/mm]
schreiben. D.h. anstatt von der Potenzreihe
[mm] $$f(x)=\sum_{k=0}^\infty x^k$$
[/mm]
darf man auf $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] auch von der Funktion
[mm] $$f(x)=\frac{1}{1-x}$$
[/mm]
reden. Daher darf man dort (vgl. auch Schachuzipus Hinweise)
[mm] $$f'(x)=\left(\sum_{k=0}^\infty x^k\right)'=\left(\frac{1}{1-x}\right)'$$
[/mm]
berechnen (die Ableitung kann man also auf zwei Wegen berechnen; wie es mit der Potenzreihendarstellung aussieht, vgl. Schachuzipus Hinweis).
P.S.:
Falls Du den Zusammenhang auch dann noch nicht sehen solltest:
Eine Umschreibung
[mm] $$\sum k*x^k=x*\sum k*x^{k-1}$$
[/mm]
ist jedenfalls für alle [mm] $x\,$ [/mm] innerhalb des Konvergenzkreises möglich.
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo Marcel,
> > Du kennst die geometr. Reihe [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k[/mm]
> > und weißt, dass sie für [mm]|x|<1[/mm] konvergiert, und zwar gegen ...
> Ich ergänze den Tipp mal, damit es noch klarer wird:
> Anstatt [mm]\sum_{k=0}^\infty x^k[/mm] darf man für [mm]|x| < 1\,[/mm]
> auch
> [mm]\frac{1}{1-x}[/mm]
> schreiben. D.h. anstatt von der Potenzreihe
> [mm]f(x)=\sum_{k=0}^\infty x^k[/mm]
> darf man auf [mm]|x| < 1\,[/mm] auch von
> der Funktion
> [mm]f(x)=\frac{1}{1-x}[/mm]
> reden.
Schade, wenigstens das wollte ich den Fragesteller selber "entdecken" lassen
Darum die ... oben
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Fr 23.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
>
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> Es ist doch hier [mm]a_k=k[/mm]
>
> Also ist gem. Cauchy-Hadamard zu berechnen
> [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|k|}}[/mm]
>
> Rechne nochmal nach ...
in diesem Fall ist r=1 da [mm] \wurzel[n]{n}->1 [/mm] oder?
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
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> >
> >
> > Es ist doch hier [mm]a_k=k[/mm]
> >
> > Also ist gem. Cauchy-Hadamard zu berechnen
> > [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|k|}}[/mm]
> >
> > Rechne nochmal nach ...
>
> in diesem Fall ist r=1 da [mm]\wurzel[n]{n}->1[/mm] oder?
Ja, und es passt wunderbar zu dem, was ich oben über den Konvergenzradius der Ableitung der geometr. Reihe angedeutet habe ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Fr 23.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo nochmal,
es würde mich freuen, wenn jemand auch die b korrigieren könnte.
ii) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}k^2x^k
[/mm]
[mm] r=\bruch{|a_n|}{|a_{n+1}|} [/mm] und [mm] a_n=k^2
[/mm]
[mm] r=\bruch{k^2}{\limes_{k\rightarrow\infty}sup (k+1)^2}=\bruch{k^2}{\limes_{k\rightarrow\infty}sup k^2+2k+1}=0
[/mm]
die reihe konvergiert nur für x=0
danke im voraus.
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo nochmal,
>
> es würde mich freuen, wenn jemand auch die b korrigieren
> könnte.
> ii) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}k^2x^k[/mm]
>
>
> [mm]r=\red{\limsup\ldots}\bruch{|a_n|}{|a_{n+1}|}[/mm]
Du hast den Limes vergessen, den ich ergänzt habe.
> und [mm]a_n=k^2[/mm]
Entweder [mm] $a_n=n^2$ [/mm] oder [mm] $a_k=k^2\,,$ [/mm] aber [mm] $a_n=k^2$ [/mm] heißt, dass jedes [mm] $a_n$ [/mm] den (festen) Wert [mm] $k^2$ [/mm] hat.
> [mm]r=\bruch{k^2}{\limes_{k\rightarrow\infty}sup (k+1)^2}=\bruch{k^2}{\limes_{k\rightarrow\infty}sup k^2+2k+1}=0[/mm]
>
> die reihe konvergiert nur für x=0
Auch das ist leider falsch. Dass das nicht stimmen kann, kann man sich auch so überlegen:
Für $|x| < 1$ gilt für [mm] $f(x)=\sum_{k=0}^\infty x^k\,,$ [/mm] dass
[mm] $$f''(x)=\left(\sum_{k=0}^\infty x^k\right)''$$
[/mm]
also
[mm] $$f''(x)=\sum_{k=2}^\infty \underbrace{(k^2-k)}_{=k*(k-1)} x^{k-2}=\sum_{k=0}^\infty \underbrace{(k^2+4k+4-k-2)}_{=(k+2)^2-(k+2)} x^{k}=\sum_{k=0}^\infty (k^2+3k+2) x^k\,.$$
[/mm]
Weil [mm] $\sum 3kx^k=3\sum kx^k$ [/mm] nach Teil a) und [mm] $\sum 2x^k=2*\sum x^k$ [/mm] beide auf [mm] $|x|<1\,$ [/mm] konvergieren und zudem [mm] $f''\,$ [/mm] daher als zweite Ableitung einer Potenzreihe, die auf [mm] $|x|\,<1$ [/mm] konvergiert, dort auch konvergiert, muss es [mm] $\sum k^2x^k$ [/mm] dort jedenfalls auch tun.
Alternativen:
1.) Deine Rechnung, nur in "richtiger Version":
[mm] $$r=\limsup_{k\rightarrow\infty}(|a_{k}|/|a_{k+1}|)=\limsup_{k \to \infty}k^2/(k+1)^2=\limsup_{k \to \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2}\right)}$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{1}{\lim_{k \to \infty} \left(1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2}\right)}=\frac{1}{1+\lim_{k \to \infty} \frac{2}{k}+\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k^2}}=\frac{1}{1+0+0}=1\,.$$
[/mm]
2.) Cauchy-Hadamard:
Wegen [mm] $a_k=k^2$ [/mm] und [mm] $\sqrt[k]{k} \to [/mm] 1$ ($k [mm] \to \infty$) [/mm] folgt
[mm] $$r=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{n^2}}=\frac{1}{\lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{n}*\sqrt[n]{n})}=\frac{1}{\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}*\lim_{p \to \infty \sqrt[p]{p}}}=\frac{1}{1*1}=1\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Fr 23.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
danke für die ausführliche Hilfe!
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