Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Sa 02.04.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] ist die Reihe konvergent, für welche divergent?
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n+1}{2^n}*x^n [/mm] |
Berechne zunächst den Konvergenzradius r.
$ r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{a_{n+1}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+1}{2^n}*\bruch{2^{n+1}}{n+2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n+2}{n+2}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2+\bruch{2}{n}}{1+\bruch{2}{n}} [/mm] = 2 $
Jetzt meine Verständnisfrage: Heisst das jetzt für $ x [mm] \le [/mm] 2 $ ist die Reihe konvergent und für $ x > 2 $ divergent?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Sa 02.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] ist die Reihe konvergent, für welche
> divergent?
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n+1}{2^n}*x^n[/mm]
> Berechne zunächst den Konvergenzradius r.
>
> [mm]r = \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{a_{n+1}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+1}{2^n}*\bruch{2^{n+1}}{n+2} = \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n+2}{n+2}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2+\bruch{2}{n}}{1+\bruch{2}{n}} = 2[/mm]
>
> Jetzt meine Verständnisfrage: Heisst das jetzt für [mm]x \le 2[/mm]
> ist die Reihe konvergent und für [mm]x > 2[/mm] divergent?
Nein, es heisst, sie ist für $|x|<2$ absolut konvergent und für $|x|>2$ divergent. Für $|x|=2$ kannst du aus dem Wert des Konvergenzradius keine Aussage ableiten, aber du kannst natürlich $x=2$ bzw. $x=-2$ in die Reihe einsetzen und die Konvergenz prüfen.
Viele Grüße
Rainer
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