Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo habe hier zwei potenzreihen mit denen ich nicht klar kommen.
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a^{n^2}*x^{n} [/mm]
Dann zieh ich die n-te Wurzel aus [mm] a^{n}^{2} [/mm] und forme um und erhalte [mm] a^{n} [/mm] Jetzt weiß ich nur nicht gegen was das für n gegen unendlich geht.
Eigentlich gegen unendlich oder? Aber was ist dann der konvergenzradius??
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{2k\\ k}x^{2k} [/mm] Bei der aufabe weiß ich nicht was mein [mm] a_{n} [/mm] ist, von dem ich die n-te wurzel ziehen muss??
gruß
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Hallo Ganz,
> Hallo habe hier zwei potenzreihen mit denen ich nicht klar
> kommen.
> b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{2k\\ k}x^{2k}[/mm] Bei der
> aufabe weiß ich nicht was mein [mm]a_{n}[/mm] ist, von dem ich die
> n-te wurzel ziehen muss??
>
Hier ist doch [mm]a_{n}=\pmat{2n \\ n} [/mm]
Dann kannst Du Die Reihe so schreiben:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{2n\\ n}\left( \ x^{2} \ \right)^{n}[/mm]
Weiterhin ist hier das Quotientenkriterium angebrachter.
> gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Ganz |
danke,
habe ein paar fragen dazu. Ist es schlimm dass [mm] x^{2n} [/mm] steht und nicht [mm] x^{n}? [/mm] Also ändert das was.
Habe das quotientenkr. benutzt und bekomme heraus dass [mm] a_{n} [/mm] divergiet.
Was sagt mir das jetzt über den konvergenzradius?
gruß
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Hallo Ganz,
> danke,
> habe ein paar fragen dazu. Ist es schlimm dass [mm]x^{2n}[/mm]
> steht und nicht [mm]x^{n}?[/mm] Also ändert das was.
Ja, die Reihe konvergiert dann für [mm]c*x^{2} < 1[/mm]
> Habe das quotientenkr. benutzt und bekomme heraus dass
> [mm]a_{n}[/mm] divergiet.
Wenn überhaupt, dann divergiert die Potenzreihe.
> Was sagt mir das jetzt über den konvergenzradius?
>
Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
>
> gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Ok, also quotientenkr. [mm] \bruch{(2n+2)!(n!)^2}/{((n+1)!)^{2}(2n)!}=\bruch{2(n+1)(2n+1)}/{(n+1)(n+1)}=\bruch{4n+2}/{(n+1)}=\bruch{n(4+2/n}/{n(1+1/n)}=\bruch{(4+2/n}/{(1+1/n)} [/mm] und für n gegen unendlich geht das gegen 4 also größer als 1 , daher divergierts oder??
ich weiß aber nicht was mir das sagt.
gruß
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Hallo Ganz,
> Ok, also quotientenkr.
> [mm]\bruch{(2n+2)!(n!)^2}/{((n+1)!)^{2}(2n)!}=\bruch{2(n+1)(2n+1)}/{(n+1)(n+1)}=\bruch{4n+2}/{(n+1)}=\bruch{n(4+2/n}/{n(1+1/n)}=\bruch{(4+2/n}/{(1+1/n)}[/mm]
> und für n gegen unendlich geht das gegen 4 also größer
> als 1 , daher divergierts oder??
Nein.
Du hast doch zunächst:
[mm]4*x^{2}<1[/mm]
Daraus ergibt sich der Konvergenzradius.
> ich weiß aber nicht was mir das sagt.
>
> gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Also ist der Konvergenzradius 0,5 und -0,5?? Geht das dass es 2 konvergenzradien gibt??
gruß
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Hallo Ganz,
> Also ist der Konvergenzradius 0,5 und -0,5?? Geht das dass
> es 2 konvergenzradien gibt??
>
Es gibt nur einen Konvergenzradius,
damit konvergiert die Potenzreihe für
[mm]\vmat{x} < 0,5[/mm]
Das Konvergenzintervall lautet dann
[mm]-0,5 < x < 0,5[/mm]
> gruß
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo,
danke für deine hilfe.
Hat jemand eine idee für die andere potenzreihe??
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Sa 12.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Zur Potenzreihe mit den Binomialkoeffizienten 2n über n:
Man kann zeigen: Der Quotient zweier solcher aufeinanderfolgender Binomialkoeffizienten ist 4-2/(n+1). Damit hat dieser Quotient den Grenzwert 4, wie richtig erkannt wurde.
Nun ist aber beim Quotientenkriterium alles, was nach dem Summenzeichen steht als [mm] a_{n} [/mm] aufzufassen. Für den Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder gilt also: [mm] c.x^2, [/mm] wobei 0<c<4 ist. Die Reihe konvergiert demnach für alle x, deren Betrag kleiner als 1/2 ist, was sich aus der Bedingung [mm] c.x^2≤4.x^2≤k<1 [/mm] ergibt.
Anmerkung: Da ich mit meinem Rechner keine Formeln schreiben kann, ist es mir nicht möglich, eine ausführlichere Antwort zu schreiben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo, danke.
Weißt du wie es mit der anderen reihe aussieht?
gruß
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Hallo Ganz,
> Hallo, danke.
> Weißt du wie es mit der anderen reihe aussieht?
Ich denke, da hast du schon ganz gut angefangen, aber zu ungenau 
Es ist ja gem. Cauchy-Hadamard der Konvergenzradius [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a^{n^2}\right|}}[/mm]
Und das ist m.E. auf einen Schnellen Blick [mm]\rho=\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{|a|^n}[/mm]
Wie der K-Radius dann konkret aussieht, hängt doch sicher von [mm]a[/mm] ab ...
Was meinst du dazu?
>
>
> gruß
Zurück!
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo,
danke. Also dann gilt wenn a=0 ist, ist der konvergenzradius unendlich.
Und wenn a>0 ist, ist der konvergenzr.= 1/a
stimmts?
gruß
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Hallo nochmal,
> Hallo,
> danke. Also dann gilt wenn a=0 ist, ist der
> konvergenzradius unendlich. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und wenn a>0 ist, ist der konvergenzr.= 1/a
> stimmts?
Nicht ganz, ich hatte aber auch einen [mm]\limsup[/mm] unterschlagen, ist aber editiert.
Schaue nochmal in der anderen Antwort nach und schaue dir Folgendes an:
Für [mm]|a|<1[/mm] gilt was?
Für [mm]|a|=1[/mm] was?
Und für [mm]|a|>1[/mm] was?
Das sind doch so die kritischen Werte ...
>
>
> gruß
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo, ok also ich hoffe ich habs jetzt:
Also für a=1 ist der Konvergenzr.=1
Für a<1 ist der konvergenzr- unendliche
Für a> 1 ist der Konvergenzradius (0,1)
Oder??
gruß
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Hallo nochmal,
> Hallo, ok also ich hoffe ich habs jetzt:
> Also für a=1 ist der Konvergenzr.=1
> Für a<1 ist der konvergenzr- unendliche
Genauer für [mm] $\red{|}a\red{|}<1$
[/mm]
> Für a> 1 ist der Konvergenzradius (0,1)
Nein, der K-Radius ist doch eine Zahl!
Was treibt [mm] $|a|^n$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$, [/mm] wenn $|a|>1$ ist?
>
> Oder??
>
> gruß
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo, ok a>1 ist der konvergenzr.=0 (a im Betrag)
Danke
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Hallo nochmal,
> Hallo, ok a>1 ist der konvergenzr.=0 (a im Betrag)
Die Betragstriche kannst du mit "AltGr" + "<" machen ...
> Danke
Gerne!
Schönen Abend noch
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Sa 12.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Da ich keine Formeln schreiben kann, füge ich ein Bild ein. Ich hoffe, dass es klappt und man es lesen kann.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe noch vergessen: Im 3. Fall konvergiert die Reihe natürlich für x=0, sonst aber nicht.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Ganz |
Hallo nobsy, danke für deine Bemühungen.
Leider hats mit dem bild nicht geklappt, aber ich habs jetzt.
Danke nochmals an alle
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo nobsy, danke für deine Bemühungen.
> Leider hats mit dem bild nicht geklappt, aber ich habs
> jetzt.
doch: Ein Mod muss hier nur erst das Bild überprüfen (Urheberrecht!). Ich hab's freigeschaltet!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Sa 12.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Jetzt ist das Bild da. Ich kämpfe eben mit Allem, was nicht Mac ist. Mac und Mathematik sind easy.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Jetzt ist das Bild da.
es war auch schon eben da (Du hast es zwischenzeitlich 4 Mal hochgeladen). Urheberrechtsprüfung dauert halt ein wenig - da ich online war, hab' ich das eben schnell gemacht. "Sekundenbruchteile" nach Ganzs Nachfrage/Mitteilung hätte es schon freigeschaltet sein sollen ^^
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Da ich keine Formeln schreiben kann, füge ich ein Bild
> ein.
könntest Du bitte beschreiben, wieso das bei Dir nicht klappt? Falls es nur an fehlender Information liegt:
hier gibt's eine Beschreibung dazu (anklicken!)
Ansonsten kannst Du auch unseren Webmaster fragen!
P.S.
Ein Bild reicht (Die Freischaltdauer kann etwas dauern, wenn gerade kein Mod online ist. Ich hab's freigeschaltet, da es mir ausschaut, als wenn Du das selbst erstellt hast!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Sa 12.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Ich habe einen Mac. Damit kann man zwar den Formeleditor aufrufen und Formeln schreiben, aber hinterher nicht in die Antwort einfügen. Speichern klappt nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nobsy,
> Ich habe einen Mac. Damit kann man zwar den Formeleditor
> aufrufen und Formeln schreiben, aber hinterher nicht in die
> Antwort einfügen. Speichern klappt nicht.
ich leite es mal weiter, wenn das für Dich okay ist - das scheint mir momentan eher ein Problem des Webbrowsers auf dem Mac zu sein, aber ich kenne mich da nicht wirklich aus.
Gruß,
Marcel
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