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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 Sa 19.01.2013 | | Autor: | acid |
| Aufgabe | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die folgende Potenzreihe?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} e^{n(1+(-1)^n)} x^{2n} [/mm] |
Ich habe versucht, das Wurzelkriterium auf die ganze Reihe anzuwenden:
[mm] \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|e^{n(1+(-1)^n)} x^{2n}|} [/mm] = [mm] \limsup_{n \to \infty} e^{1+(-1)^n} x^2
[/mm]
Für gerade n: [mm] \lim_{n \to \infty} e^2 x^2 [/mm] = [mm] e^2 x^2 [/mm]
Für ungerade n: [mm] \lim_{n \to \infty} e^0 x^2 [/mm] = [mm] x^2
[/mm]
Und weil [mm] x^2 \ge [/mm] 0 ist, muss [mm] e^2 x^2 [/mm] > [mm] x^2 [/mm] sein, und [mm] \limsup_{n \to \infty} e^{1+(-1)^n} x^2 [/mm] = [mm] e^2 x^2
[/mm]
Damit die Reihe konvergiert, muss das jetzt kleiner 1 sein, also:
[mm] e^2 x^2 \overset{!}{<} [/mm] 1
[mm] x^2 [/mm] < [mm] \frac{1}{e^2}
[/mm]
|x| < [mm] \frac{1}{e}
[/mm]
Ist das die richtige Lösung? Jetzt müsste ich noch schauen, was für |x| = [mm] \frac{1}{e} [/mm] ist, oder?
(Zuerst habe ich daran gedacht, k=2n zu setzen und dann die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_k x^k [/mm] zu untersuchen, wobei ich für jedes ungerade k [mm] a_k [/mm] = 0 habe. Nur dann müsste für gerade k [mm] a_k [/mm] = [mm] e^{k/2 (1 + (-1)^{k/2})} [/mm] sein, oder? Kommt man so besser auf das Ergebnis?)
Vielen Grüße
acid
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo acid,
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert die folgende
> Potenzreihe?
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} e^{n(1+(-1)^n)} x^{2n}[/mm]
> Ich habe
> versucht, das Wurzelkriterium auf die ganze Reihe
> anzuwenden:
> [mm]\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|e^{n(1+(-1)^n)} x^{2n}|}[/mm]
> = [mm]\limsup_{n \to \infty} e^{1+(-1)^n} x^2[/mm]
>
> Für gerade n: [mm]\lim_{n \to \infty} e^2 x^2[/mm] = [mm]e^2 x^2[/mm]
> Für ungerade n: [mm]\lim_{n \to \infty} e^0 x^2[/mm] = [mm]x^2[/mm]
>
Richtig!
> Und weil [mm]x^2 \ge[/mm] 0 ist, muss [mm]e^2 x^2[/mm] > [mm]x^2[/mm] sein,
Besser: Weil [mm] $x^2\ge [/mm] 0$ und [mm] $e^2 [/mm] > 1$ ist, ist [mm] $x^2 [/mm] < [mm] e^2*x^2\,.$
[/mm]
> und [mm]\limsup_{n \to \infty} e^{1+(-1)^n} x^2[/mm] = [mm]e^2 x^2[/mm]
>
> Damit die Reihe konvergiert, muss das jetzt kleiner 1 sein,
Nein. Die Reihe könnte auch konvergieren, wenn das gleich 1 ist. Und sie konvergiert, wenn das kleiner 1 ist.
> also:
>
> [mm]e^2 x^2 \overset{!}{<}[/mm] 1
> [mm]x^2[/mm] < [mm]\frac{1}{e^2}[/mm]
> |x| < [mm]\frac{1}{e}[/mm]
>
> Ist das die richtige Lösung? Jetzt müsste ich noch
> schauen, was für |x| = [mm]\frac{1}{e}[/mm] ist, oder?
Genau!
>
>
> (Zuerst habe ich daran gedacht, k=2n zu setzen und dann die
> Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_k x^k[/mm] zu untersuchen, wobei
> ich für jedes ungerade k [mm]a_k[/mm] = 0 habe. Nur dann müsste
> für gerade k [mm]a_k[/mm] = [mm]e^{k/2 (1 + (-1)^{k/2})}[/mm] sein, oder?
> Kommt man so besser auf das Ergebnis?)
Nein!
Grüße,
Wolfgang
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