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Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Mo 11.02.2013
Autor: matheist

Aufgabe
Bestimmen Sie den Konvergenzradius r der Potenzreihen

a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^k}{k^3} x^k [/mm]

b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k*2^k} (x-2)^k [/mm]

Da ich mir sehr unsicher über das genaue vorgehen bin, präsentiere ich zunächst einmal meinen Ansatz für a)

a) Ich versuche es mit folgendem Ansatz: [mm] r=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{a_{n+1}} [/mm]

[mm] r=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2^k*x^k}{k^3}*\bruch{(k+1)^3}{2^{k+1}*x^{k+1}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(k+1)^3}{k^3*2x} [/mm]

Hier komme ich nicht mehr weiter. Kann jemand helfen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Mo 11.02.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimmen Sie den Konvergenzradius r der Potenzreihen
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^k}{k^3} x^k[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k*2^k} (x-2)^k[/mm]
> Da
> ich mir sehr unsicher über das genaue vorgehen bin,
> präsentiere ich zunächst einmal meinen Ansatz für a)
>
> a) Ich versuche es mit folgendem Ansatz:
> [mm]r=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{a_{n+1}}[/mm]
>
> [mm]r=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2^k*x^k}{k^3}*\bruch{(k+1)^3}{2^{k+1}*x^{k+1}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(k+1)^3}{k^3*2x}[/mm]
>
> Hier komme ich nicht mehr weiter. Kann jemand helfen?

Ja: das x hat in deiner Rechnung nichts zu suchen. Schaue nochmal gründlich deine UNterlagen durch!


Gruß, Diophant



Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Mo 11.02.2013
Autor: matheist


> Ja: das x hat in deiner Rechnung nichts zu suchen. Schaue
> nochmal gründlich deine UNterlagen durch!

[mm] \bruch{2^k}{k^3}*\bruch{(k+1)^3}{2}=\bruch{(k+1)^3}{k^3}*\bruch{1}{2}=\bruch{k^3+3k^2+3k+1}{k^3}=1+\bruch{3}{k}+\bruch{3}{k^2}+\bruch{1}{k^3} [/mm]

Wenn nun k gegen unendlich strebt ist das Ergebnis 1. Ist damit der Konvergenzradius bestimmt?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Mo 11.02.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> > Ja: das x hat in deiner Rechnung nichts zu suchen. Schaue
> > nochmal gründlich deine UNterlagen durch!
>
> [mm]\bruch{2^k}{k^3}*\bruch{(k+1)^3}{2}=\bruch{(k+1)^3}{k^3}*\bruch{1}{2}=\bruch{k^3+3k^2+3k+1}{k^3}=1+\bruch{3}{k}+\bruch{3}{k^2}+\bruch{1}{k^3}[/mm]
>
> Wenn nun k gegen unendlich strebt ist das Ergebnis 1. Ist
> damit der Konvergenzradius bestimmt?

Es ist dir unterwegs der Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] verloren gegangen. Prinzipiell bist du aber fertig, an deinen Schreibweisen solltest du noch arbeiten. Generell sollte man bspw. zunächst Betragsklammern setzen:

[mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty} \left | \bruch{a_n}{a_{n+1}} \right |[/mm]

die man dann hier natürlich im nächsten Schritt sofoert weglassen kann, das ist dan auch klar.

Der Konvergenzradius ist hier somit

[mm] r=\bruch{1}{2} [/mm]


Gruß, Diophant





Bezug
        
Bezug
Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 Mo 11.02.2013
Autor: matheist

Danke!

Ich denke ich kann nun auch die zweite Aufgabe lösen:

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k\cdot{}2^k} (x-2)^k=\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{2-x}{2})^k*\bruch{1}{k} [/mm]

[mm] r=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|a_k|}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|(\bruch{2}{2})^k*\bruch{1}{k}|}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[k]{k}}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k}=1 [/mm]

Ist das richtig?


Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Mo 11.02.2013
Autor: Studiiiii

Bei deinem Kriterium musst du den Limes Superior betrachten.

Ansonsten sieht es eig. richtig aus.

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Mo 11.02.2013
Autor: matheist

Wäre die richtige Schreibweise [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}sup\wurzel[k]{k}=1 [/mm] ?

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Mo 11.02.2013
Autor: Studiiiii

Im prinzip ja, schau nochmal hier nach:

[]klick

lg

Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:37 Di 12.02.2013
Autor: fred97


> Danke!
>  
> Ich denke ich kann nun auch die zweite Aufgabe lösen:
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k\cdot{}2^k} (x-2)^k=\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{2-x}{2})^k*\bruch{1}{k}[/mm]

Mit dieser (richtigen ) Umformung rennst Du ins Verderben. Siehe unten.

>  
> [mm]r=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|a_k|}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|(\bruch{2}{2})^k*\bruch{1}{k}|}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[k]{k}}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k}=1[/mm]
>  
> Ist das richtig?


Nein. Die koeffizienten der Potenzreihe lauten

[mm] a_k=\bruch{(-1)^k}{k\cdot{}2^k} [/mm]

FRED

>  


Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Di 12.02.2013
Autor: matheist


> Nein. Die koeffizienten der Potenzreihe lauten
>  
> $ [mm] a_k=\bruch{(-1)^k}{k\cdot{}2^k} [/mm] $


[mm] r=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|a_k|}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|(\bruch{(-1)^k}{k*2^k}}|}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{2\wurzel[k]{k}}}=\bruch{1}{2} [/mm]

Ist es jetzt korrekt?

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Di 12.02.2013
Autor: schachuzipus

Hallo matheist,


> > Nein. Die koeffizienten der Potenzreihe lauten
>  >  
> > [mm]a_k=\bruch{(-1)^k}{k\cdot{}2^k}[/mm]
>  
>
> [mm]r=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|a_k|}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|(\bruch{(-1)^k}{k*2^k}}|}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{2\wurzel[k]{k}}}[/mm] [ok]

[mm]=\bruch{1}{2}[/mm] [notok]

Es ist doch wohl [mm]\frac{1}{\frac{1}{2}}=2[/mm] ...

>  
> Ist es jetzt korrekt?

Gruß

schachuzipus


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