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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Mi 05.10.2005 | | Autor: | uwe09 |
hallo ich habe eine frage: mit welchen möglichkeiten lässt sich der konvergenzradius einer folge bestimmen welche nicht nach dem typischen schema konstruiert ist (also nciht [mm] x^{n})??
[/mm]
zb [mm] \summe_{n=1}^{\infty} x^{2n}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Do 06.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Im Allgemeinen kann man den Konvergenzradius $r$ einer Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ [/mm] wie folgt bestimmen:
$r = [mm] \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}}$
[/mm]
(falls es ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $a_n\ne [/mm] 0$ für alle $n [mm] \ge n_0$)
[/mm]
oder
$r = [mm] \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$.
[/mm]
Hier geht es aber auch direkt:
Die Reihe
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^{2n} [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} (x^2)^n$
[/mm]
konvergiert bekanntlich (geometrische Reihe!) für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x^2|<1$ [/mm] und divergiert für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x^2| [/mm] >1$.
Wegen
[mm] $[|x^2|<1 \Leftrightarrow [/mm] |x|<1]$ und [mm] $[|x^2|>1 \Leftrightarrow [/mm] |x|>1]$
können wir also sagen:
Die Reihe
[mm] $\sum\limits_{n =0}^{\infty} x^{2n}$
[/mm]
konvergiert für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|x|<1$ und divergiert für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|x|>1$.
Daraus folgt für den Konvergenzradius: $r=1$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Do 06.10.2005 | | Autor: | uwe09 |
super vielen dank:)
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