Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{kn \\ n} z^{n} [/mm] , [mm] k\in\IN [/mm] |
Hallo!
Es gibt ja zwei verschiedene Arten den Konvergenzradius auszurechnen:
1. r = [mm] lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|
[/mm]
2. r = [mm] \bruch{1}{limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_{n}|}}
[/mm]
wobei in dieser Aufgabe das [mm] a_{n}=\vektor{kn \\ n} [/mm] ist, oder?
Ich habe versucht mit der 1. Variante den Konvergenzradius auszurechnen, komme aber nicht weiter. So weit bin ich:
r = [mm] lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\vektor{kn \\ n}}{\vektor{k(n+1) \\ n+1}}| [/mm]
= [mm] lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)! n!}*\bruch{(kn+k-n-1)!(n+1)!}{(kn+k)!}| [/mm]
= [mm] lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn+k-n-1)!(n+1)}{(kn+k)!}| [/mm]
Jetzt komme ich nicht weiter:
Man müsste ja die Fakultäten irgendwie zerlegen, dass man weiter kürzen kann, so wie bei (n+1)!=n!*(n+1)
Aber wie? Kann mir da jemand helfen?
Grüßle, Lily
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Hallo Mathe-Lily,
> Berechnen Sie den Konvergenzradius der folgenden
> Potenzreihe:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{kn \\ n} z^{n}[/mm] , [mm]k\in\IN[/mm]
> Hallo!
> Es gibt ja zwei verschiedene Arten den Konvergenzradius
> auszurechnen:
> 1. r = [mm]lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
> 2. r =
> [mm]\bruch{1}{limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_{n}|}}[/mm]
> wobei in dieser Aufgabe das [mm]a_{n}=\vektor{kn \\ n}[/mm] ist,
> oder?
>
> Ich habe versucht mit der 1. Variante den Konvergenzradius
> auszurechnen, komme aber nicht weiter. So weit bin ich:
>
> r = [mm]lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\vektor{kn \\ n}}{\vektor{k(n+1) \\ n+1}}|[/mm]
>
> = [mm]lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)! n!}*\bruch{(kn+k-n-1)!(n+1)!}{(kn+k)!}|[/mm]
>
> =
> [mm]lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn+k-n-1)!(n+1)}{(kn+k)!}|[/mm]
>
> Jetzt komme ich nicht weiter:
> Man müsste ja die Fakultäten irgendwie zerlegen, dass
> man weiter kürzen kann, so wie bei (n+1)!=n!*(n+1)
> Aber wie? Kann mir da jemand helfen?
>
Es ist doch
[mm](kn+k)!=\left(kn\right)!*\produkt_{i=1}^{k}\left(kn+i\right)[/mm]
> Grüßle, Lily
Gruss
MathePower
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> Hallo Mathe-Lily,
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> > Berechnen Sie den Konvergenzradius der folgenden
> > Potenzreihe:
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{kn \\ n} z^{n}[/mm] , [mm]k\in\IN[/mm]
> > Hallo!
> > Es gibt ja zwei verschiedene Arten den Konvergenzradius
> > auszurechnen:
> > 1. r =
> [mm]lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
> > 2. r =
> > [mm]\bruch{1}{limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_{n}|}}[/mm]
> > wobei in dieser Aufgabe das [mm]a_{n}=\vektor{kn \\ n}[/mm] ist,
> > oder?
> >
> > Ich habe versucht mit der 1. Variante den Konvergenzradius
> > auszurechnen, komme aber nicht weiter. So weit bin ich:
> >
> > r = [mm]lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\vektor{kn \\ n}}{\vektor{k(n+1) \\ n+1}}|[/mm]
> >
> > = [mm]lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)! n!}*\bruch{(kn+k-n-1)!(n+1)!}{(kn+k)!}|[/mm]
> >
> > =
> >
> [mm]lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn+k-n-1)!(n+1)}{(kn+k)!}|[/mm]
> >
> > Jetzt komme ich nicht weiter:
> > Man müsste ja die Fakultäten irgendwie zerlegen, dass
> > man weiter kürzen kann, so wie bei (n+1)!=n!*(n+1)
> > Aber wie? Kann mir da jemand helfen?
> >
>
>
> Es ist doch
>
> [mm](kn+k)!=\left(kn\right)!*\produkt_{i=1}^{k}\left(kn+i\right)[/mm]
>
Aha? Danke!
Ist dann auch:
[mm] (kn-n+k-1)!=(kn-n)!\produkt_{i=1}^{k-1}(kn-n+i) [/mm] ?
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Hallo Mathe-Lily,
> > Hallo Mathe-Lily,
> >
> > > Berechnen Sie den Konvergenzradius der folgenden
> > > Potenzreihe:
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{kn \\ n} z^{n}[/mm] ,
> [mm]k\in\IN[/mm]
> > > Hallo!
> > > Es gibt ja zwei verschiedene Arten den
> Konvergenzradius
> > > auszurechnen:
> > > 1. r =
> > [mm]lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
> > > 2. r =
> > > [mm]\bruch{1}{limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_{n}|}}[/mm]
> > > wobei in dieser Aufgabe das [mm]a_{n}=\vektor{kn \\ n}[/mm]
> ist,
> > > oder?
> > >
> > > Ich habe versucht mit der 1. Variante den Konvergenzradius
> > > auszurechnen, komme aber nicht weiter. So weit bin ich:
> > >
> > > r = [mm]lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\vektor{kn \\ n}}{\vektor{k(n+1) \\ n+1}}|[/mm]
> > >
> > > = [mm]lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)! n!}*\bruch{(kn+k-n-1)!(n+1)!}{(kn+k)!}|[/mm]
> > >
> > > =
> > >
> >
> [mm]lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn+k-n-1)!(n+1)}{(kn+k)!}|[/mm]
> > >
> > > Jetzt komme ich nicht weiter:
> > > Man müsste ja die Fakultäten irgendwie zerlegen,
> dass
> > > man weiter kürzen kann, so wie bei (n+1)!=n!*(n+1)
> > > Aber wie? Kann mir da jemand helfen?
> > >
> >
> >
> > Es ist doch
> >
> >
> [mm](kn+k)!=\left(kn\right)!*\produkt_{i=1}^{k}\left(kn+i\right)[/mm]
> >
> Aha? Danke!
> Ist dann auch:
> [mm](kn-n+k-1)!=(kn-n)!\produkt_{i=1}^{k-1}(kn-n+i)[/mm] ?
Ja.
Gruss
MathePower
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Super, danke!
Ich habe dann folgendes:
[mm] r=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n+k-1)!(n+1)}{(kn+k)!}|
[/mm]
[mm] =\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n)!*(\produkt_{i=1}^{n}(kn-n+i))*(n+1)}{(kn)!*\produkt_{i=1}^{n}(kn+i)}|
[/mm]
[mm] =\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\produkt_{i=1}^{n}(kn-n+i)*(n+1)}{\produkt_{i=1}^{n}(kn+i)}|
[/mm]
[mm] =\lim_{n\rightarrow\infty}|(n+1)\bruch{n^{2}*\produkt_{i=1}^{n}(k/n-1/n+i/n^{2})}{n^{2}*\produkt_{i=1}^{n}(k/n+i/n^{2})}|
[/mm]
[mm] =\lim_{n\rightarrow\infty}|(n+1)\bruch{\produkt_{i=1}^{n}(k/n-1/n+i/n^{2})}{\produkt_{i=1}^{n}(k/n+i/n^{2})}|
[/mm]
(n+1) -> [mm] \infty
[/mm]
und
da Zähler und Nenner jeweils gegen 0 streben, strebt der Bruch gegen 1
Also ist [mm] r=\infty
[/mm]
Beim Schluss bin ich mir nicht so sicher.
Kann das so stimmen oder bin ich auf dem Holzweg?
Danke!
Grüßle, Lily
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Hallo Mathe-Lily,
> Super, danke!
>
> Ich habe dann folgendes:
>
> [mm]r=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n+k-1)!(n+1)}{(kn+k)!}|[/mm]
>
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n)!*(\produkt_{i=1}^{n}(kn-n+i))*(n+1)}{(kn)!*\produkt_{i=1}^{n}(kn+i)}|[/mm]
>
Die oberen Indizes bei den Produkten stimmen nicht:
[mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n)!*(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{(kn)!*\produkt_{i=1}^{\blue{k}}(kn+i)}|[/mm]
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\produkt_{i=1}^{n}(kn-n+i)*(n+1)}{\produkt_{i=1}^{n}(kn+i)}|[/mm]
>
>
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(n+1)\bruch{n^{2}*\produkt_{i=1}^{n}(k/n-1/n+i/n^{2})}{n^{2}*\produkt_{i=1}^{n}(k/n+i/n^{2})}|[/mm]
>
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(n+1)\bruch{\produkt_{i=1}^{n}(k/n-1/n+i/n^{2})}{\produkt_{i=1}^{n}(k/n+i/n^{2})}|[/mm]
>
> (n+1) -> [mm]\infty[/mm]
> und
> da Zähler und Nenner jeweils gegen 0 streben, strebt der
> Bruch gegen 1
>
> Also ist [mm]r=\infty[/mm]
>
> Beim Schluss bin ich mir nicht so sicher.
> Kann das so stimmen oder bin ich auf dem Holzweg?
>
> Danke!
> Grüßle, Lily
Gruss
MathePower
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> Hallo Mathe-Lily,
>
> > Super, danke!
> >
> > Ich habe dann folgendes:
> >
> >
> [mm]r=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n+k-1)!(n+1)}{(kn+k)!}|[/mm]
> >
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n)!*(\produkt_{i=1}^{n}(kn-n+i))*(n+1)}{(kn)!*\produkt_{i=1}^{n}(kn+i)}|[/mm]
> >
>
> Die oberen Indizes bei den Produkten stimmen nicht:
>
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n)!*(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{(kn)!*\produkt_{i=1}^{\blue{k}}(kn+i)}|[/mm]
achso, ja, hab ich vergessen beim abtippen! ^^
aber sonst stimmts?
>
>
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\produkt_{i=1}^{n}(kn-n+i)*(n+1)}{\produkt_{i=1}^{n}(kn+i)}|[/mm]
> >
> >
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(n+1)\bruch{n^{2}*\produkt_{i=1}^{n}(k/n-1/n+i/n^{2})}{n^{2}*\produkt_{i=1}^{n}(k/n+i/n^{2})}|[/mm]
> >
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(n+1)\bruch{\produkt_{i=1}^{n}(k/n-1/n+i/n^{2})}{\produkt_{i=1}^{n}(k/n+i/n^{2})}|[/mm]
> >
> > (n+1) -> [mm]\infty[/mm]
> > und
> > da Zähler und Nenner jeweils gegen 0 streben, strebt
> der
> > Bruch gegen 1
> >
> > Also ist [mm]r=\infty[/mm]
> >
> > Beim Schluss bin ich mir nicht so sicher.
> > Kann das so stimmen oder bin ich auf dem Holzweg?
> >
> > Danke!
> > Grüßle, Lily
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Mathe-Lily,
> > Hallo Mathe-Lily,
> >
> > > Super, danke!
> > >
> > > Ich habe dann folgendes:
> > >
> > >
> >
> [mm]r=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n+k-1)!(n+1)}{(kn+k)!}|[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n)!*(\produkt_{i=1}^{n}(kn-n+i))*(n+1)}{(kn)!*\produkt_{i=1}^{n}(kn+i)}|[/mm]
> > >
> >
> > Die oberen Indizes bei den Produkten stimmen nicht:
> >
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n)!*(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{(kn)!*\produkt_{i=1}^{\blue{k}}(kn+i)}|[/mm]
>
> achso, ja, hab ich vergessen beim abtippen! ^^
>
> aber sonst stimmts?
Leider nein.
> >
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> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\produkt_{i=1}^{n}(kn-n+i)*(n+1)}{\produkt_{i=1}^{n}(kn+i)}|[/mm]
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> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(n+1)\bruch{n^{2}*\produkt_{i=1}^{n}(k/n-1/n+i/n^{2})}{n^{2}*\produkt_{i=1}^{n}(k/n+i/n^{2})}|[/mm]
> > >
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> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(n+1)\bruch{\produkt_{i=1}^{n}(k/n-1/n+i/n^{2})}{\produkt_{i=1}^{n}(k/n+i/n^{2})}|[/mm]
> > >
> > > (n+1) -> [mm]\infty[/mm]
> > > und
> > > da Zähler und Nenner jeweils gegen 0 streben,
> strebt
> > der
> > > Bruch gegen 1
> > >
> > > Also ist [mm]r=\infty[/mm]
> > >
> > > Beim Schluss bin ich mir nicht so sicher.
> > > Kann das so stimmen oder bin ich auf dem Holzweg?
> > >
> > > Danke!
> > > Grüßle, Lily
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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> Hallo Mathe-Lily,
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> > > Hallo Mathe-Lily,
> > >
> > > > Super, danke!
> > > >
> > > > Ich habe dann folgendes:
> > > >
> > > >
> > >
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> [mm]r=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n+k-1)!(n+1)}{(kn+k)!}|[/mm]
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> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n)!*(\produkt_{i=1}^{n}(kn-n+i))*(n+1)}{(kn)!*\produkt_{i=1}^{n}(kn+i)}|[/mm]
> > > >
> > >
> > > Die oberen Indizes bei den Produkten stimmen nicht:
> > >
> > >
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n)!*(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{(kn)!*\produkt_{i=1}^{\blue{k}}(kn+i)}|[/mm]
> >
> > achso, ja, hab ich vergessen beim abtippen! ^^
> >
> > aber sonst stimmts?
>
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> Leider nein.
ok... wo ist denn mein fehler? kann mir jemand helfen? 
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> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\produkt_{i=1}^{n}(kn-n+i)*(n+1)}{\produkt_{i=1}^{n}(kn+i)}|[/mm]
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> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(n+1)\bruch{n^{2}*\produkt_{i=1}^{n}(k/n-1/n+i/n^{2})}{n^{2}*\produkt_{i=1}^{n}(k/n+i/n^{2})}|[/mm]
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(n+1)\bruch{\produkt_{i=1}^{n}(k/n-1/n+i/n^{2})}{\produkt_{i=1}^{n}(k/n+i/n^{2})}|[/mm]
> > > >
> > > > (n+1) -> [mm]\infty[/mm]
> > > > und
> > > > da Zähler und Nenner jeweils gegen 0 streben,
> > strebt
> > > der
> > > > Bruch gegen 1
> > > >
> > > > Also ist [mm]r=\infty[/mm]
> > > >
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Hallo,
> [mm]|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n+k-1)!(n+1)}{(kn+k)!}|[/mm]
=[mm]|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n)!*(kn-n+1)*(kn-n+2)*...*(kn-n+k-1)(n+1)}{(kn)!*(kn+1)*(kn+2)*...*(kn+k-1)*(kn+k)}|[/mm]
=[mm]|\bruch{(kn-n+1)*(kn-n+2)*...*(kn-n+k-1)(n+1)}{(kn+1)*(kn+2)*...*(kn+k-1)*(kn+k)}|[/mm]
=[mm]|\bruch{(kn+1-n)*(kn+2-n)*...*(kn+k-1-n)(n+1)}{(kn+1)*(kn+2)*...(kn+k-1)*(kn+k)}|[/mm]
=[mm]|\bruch{(kn+1-n)}{(kn+1)}*\bruch{(kn+2-n)}{(kn+2)}*...*\bruch{(kn+k-1-n)}{(kn+k-1)}*\bruch{(n+1)}{k(n+1)}|[/mm]
=[mm]|(1-\bruch{n}{(kn+1)})*(1-\bruch{n}{(kn+2)})*...*(1-\bruch{n}{(kn+k-1)})*\bruch{1}{k}|[/mm]
Damit solltest Du weiterkommen.
Ich hab' übrigens zuvor, nachdem Du die Grenzen korrigiert hattest,
nichts Falsches gesehen:
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n)!*(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{(kn)!*\produkt_{i=1}^{\blue{k}}(kn+i)}|[/mm]
[mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{\produkt_{i=1}^{\blue{k}}(kn+i)}|[/mm]
[mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn+i))*(kn+k)}|[/mm]
[mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}\bruch{(kn-n+i)}{kn+i}*\bruch{(n+1)}{kn+k}|[/mm]
[mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(1-\bruch{n}{kn+i})*\bruch{1}{k}|[/mm],
und das deckt sich mit meinem Tun von oben.
LG Angela
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> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n)!*(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{(kn)!*\produkt_{i=1}^{\blue{k}}(kn+i)}|[/mm]
>
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{\produkt_{i=1}^{\blue{k}}(kn+i)}|[/mm]
>
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn+i))*(kn+k)}|[/mm]
>
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}\bruch{(kn-n+i)}{kn+i}*\bruch{(n+1)}{kn+k}|[/mm]
>
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(1-\bruch{n}{kn+i})*\bruch{1}{k}|[/mm],
>
Danke! Das sieht gut aus!
Ich habe nun da weitergemacht:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{{k-1}}(1-\bruch{n}{kn+i})*\bruch{1}{k}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{1}{k}|*\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{{k-1}}(1-\bruch{n}{n*(k+i/n)})|
[/mm]
da [mm] k\in\IN [/mm] ist |1/k|=1/k
= [mm] \bruch{1}{k}*\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{{k-1}}(1-\bruch{1}{k+i/n})|
[/mm]
i/n -> 0 für n -> [mm] \infty
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{k}*|1-\bruch{1}{k}|
[/mm]
der Ausdruck im Betrag ist positiv, da 1/k kleiner 1, da [mm] k\in\IN
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{k}*(1-\bruch{1}{k})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{k}-\bruch{1}{k^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{k-1}{k^{2}}
[/mm]
Und das ist dann mein Konvergenzradius.
Stimmt das?
Kann da nochmal jemand drüber schauen?
Das wäre toll!
Grüßle, Lily
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> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n)!*(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{(kn)!*\produkt_{i=1}^{\blue{k}}(kn+i)}|[/mm]
> >
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{\produkt_{i=1}^{\blue{k}}(kn+i)}|[/mm]
> >
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn+i))*(kn+k)}|[/mm]
> >
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}\bruch{(kn-n+i)}{kn+i}*\bruch{(n+1)}{kn+k}|[/mm]
> >
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(1-\bruch{n}{kn+i})*\bruch{1}{k}|[/mm],
> >
>
> Danke! Das sieht gut aus!
> Ich habe nun da weitergemacht:
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{{k-1}}(1-\bruch{n}{kn+i})*\bruch{1}{k}|[/mm]
>
> =
> [mm]|\bruch{1}{k}|*\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{{k-1}}(1-\bruch{n}{n*(k+i/n)})|[/mm]
>
> da [mm]k\in\IN[/mm] ist |1/k|=1/k
>
> =
> [mm]\bruch{1}{k}*\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{{k-1}}(1-\bruch{1}{k+i/n})|[/mm]
>
> i/n -> 0 für n -> [mm]\infty[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{k}*|1-\bruch{1}{k}|[/mm]
Hallo,
den Faktor |1-1/k| hast Du aber mehrmals!
Abgesehen davon finde ich es richtig.
LG Angela
>
> der Ausdruck im Betrag ist positiv, da 1/k kleiner 1, da
> [mm]k\in\IN[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{k}*(1-\bruch{1}{k})[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k^{2}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{k-1}{k^{2}}[/mm]
>
> Und das ist dann mein Konvergenzradius.
>
> Stimmt das?
> Kann da nochmal jemand drüber schauen?
> Das wäre toll!
>
> Grüßle, Lily
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> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n)!*(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{(kn)!*\produkt_{i=1}^{\blue{k}}(kn+i)}|[/mm]
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{\produkt_{i=1}^{\blue{k}}(kn+i)}|[/mm]
> > >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn+i))*(kn+k)}|[/mm]
> > >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}\bruch{(kn-n+i)}{kn+i}*\bruch{(n+1)}{kn+k}|[/mm]
> > >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(1-\bruch{n}{kn+i})*\bruch{1}{k}|[/mm],
> [mm]|\bruch{1}{k}|*\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{{k-1}}(1-\bruch{n}{n*(k+i/n)})|[/mm]
> >
> > da [mm]k\in\IN[/mm] ist |1/k|=1/k
> >
> =[mm]\bruch{1}{k}*\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{{k-1}}(1-\bruch{1}{k+i/n})|[/mm]
> >
> > i/n -> 0 für n -> [mm]\infty[/mm]
> >
> > = [mm]\bruch{1}{k}*|1-\bruch{1}{k}|[/mm]
>
> Hallo,
>
> den Faktor |1-1/k| hast Du aber mehrmals!
>
ah, stimmt!
= [mm] \bruch{1}{k}*|(1-\bruch{1}{k})*...*(1-\bruch{1}{k})| [/mm] wobei [mm] (1-\bruch{1}{k}) [/mm] (k-1) mal da steht, also:
[mm] =\bruch{1}{k}*|(1-\bruch{1}{k})^{k-1}|
[/mm]
den Betrag können wir trotzdem weglassen, weil 1-1/k positiv ist, also:
[mm] =\bruch{1}{k}*(1-\bruch{1}{k})^{k-1}
[/mm]
hm... stimmt das so und kann ich hier noch was machen?
Grüßle, Lily
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Hallo Mathe-Lily,
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(kn)!}{(kn-n)!}*\bruch{(kn-n)!*(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{(kn)!*\produkt_{i=1}^{\blue{k}}(kn+i)}|[/mm]
> > >
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{\produkt_{i=1}^{\blue{k}}(kn+i)}|[/mm]
> > > >
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn-n+i))*(n+1)}{(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(kn+i))*(kn+k)}|[/mm]
> > > >
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}\bruch{(kn-n+i)}{kn+i}*\bruch{(n+1)}{kn+k}|[/mm]
> > > >
> >
> [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{\blue{k-1}}(1-\bruch{n}{kn+i})*\bruch{1}{k}|[/mm],
>
> >
> [mm]|\bruch{1}{k}|*\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{{k-1}}(1-\bruch{n}{n*(k+i/n)})|[/mm]
> > >
> > > da [mm]k\in\IN[/mm] ist |1/k|=1/k
> > >
> >
> =[mm]\bruch{1}{k}*\lim_{n\rightarrow\infty}|(\produkt_{i=1}^{{k-1}}(1-\bruch{1}{k+i/n})|[/mm]
> > >
> > > i/n -> 0 für n -> [mm]\infty[/mm]
> > >
> > > = [mm]\bruch{1}{k}*|1-\bruch{1}{k}|[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > den Faktor |1-1/k| hast Du aber mehrmals!
> >
> ah, stimmt!
>
> = [mm]\bruch{1}{k}*|(1-\bruch{1}{k})*...*(1-\bruch{1}{k})|[/mm]
> wobei [mm](1-\bruch{1}{k})[/mm] (k-1) mal da steht, also:
>
> [mm]=\bruch{1}{k}*|(1-\bruch{1}{k})^{k-1}|[/mm]
>
> den Betrag können wir trotzdem weglassen, weil 1-1/k
> positiv ist, also:
>
> [mm]=\bruch{1}{k}*(1-\bruch{1}{k})^{k-1}[/mm]
>
> hm... stimmt das so und kann ich hier noch was machen?
>
Das stimmt so.
Das kann noch zusammengefasst werden zu:
[mm]\bruch{\left(k-1\right)^{k-1}}{k^{k}}[/mm]
> Grüßle, Lily
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Mi 29.05.2013 | | Autor: | Mathe-Lily |
Ich danke euch beiden... auch für eure Geduld !!!
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