Konvergenzradius 0 < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Mo 30.11.2009 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty}(k!*z^{k}) [/mm] nur für z=0 konvergiert. |
Dass Sie dies für z=0 tut ist ja schnell gezeigt, aber wie zeige ich, dass es sonst kein anderes [mm] z\in\IC [/mm] gibt, für das die Reihe konvergiert.
Den Konvergenzradius kann man ja mit
[mm] R=(\limes_{n\rightarrow\infty}(|\bruch{(k+1)!}{k!}|)^{-1} [/mm] berechnen. Nur doof, dass k+1 divergiert... Natürlich kann man einfach den Kehrwert nehmen und sagen, dass das 0 ist, aber inwiefern ist das denn legitim?
Gibt es eine andere Möglichkeit zu zeigen, dass [mm] k!*z^{k} [/mm] über alle Grenzen wächst, wenn [mm] z\not=0 [/mm] ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
> Beweisen Sie, dass die Reihe
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}(k!*z^{k})[/mm] nur für z=0 konvergiert.
> Dass Sie dies für z=0 tut ist ja schnell gezeigt, aber wie
> zeige ich, dass es sonst kein anderes [mm]z\in\IC[/mm] gibt, für
> das die Reihe konvergiert.
> Den Konvergenzradius kann man ja mit
> [mm]R=(\limes_{n\rightarrow\infty}(|\bruch{(k+1)!}{k!}|)^{-1}[/mm]
> berechnen. Nur doof, dass k+1 divergiert... Natürlich kann
> man einfach den Kehrwert nehmen und sagen, dass das 0 ist,
> aber inwiefern ist das denn legitim?
Das ist so in Ordnung, wenn man den Konvergenzradius genau so definiert hat. Also [mm] 1/0=\infty [/mm] und [mm] 1/\infty=0
[/mm]
> Gibt es eine andere Möglichkeit zu zeigen, dass [mm]k!*z^{k}[/mm]
> über alle Grenzen wächst, wenn [mm]z\not=0[/mm] ist?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß Patrick
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