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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzradius II
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Konvergenzradius II: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Fr 09.01.2015
Autor: Morph007

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Bestimmen Sie den Konvergenzradius von a) $\summe_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(2n+1)^2*2^n}$ und b) $\summe_{n=1}^{\infty} n!(x+2)^n}$



zu a)
Bekanntermaßen ist der Kovergenzradius einer unendlichen Reihe

$r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$

\gdw

$r=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+3)^2*2^{n+1}}{(2n+1)^2*2^n}$

\gdw

$r=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+3)^2*2^n*2}{(2n+1)^2*2^n}$

\gdw

$r=2*\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+3)^2}{(2n+1)^2}$

Wie löse ich den Rest auf?


Zu b)

Wie isoliere ich da das x um $a_n$ und $a_{n+1}$ zu bestimmen?
Die beiden brauche ich ja auf jeden Fall um den Konvergenzradius zu bestimmen, auch wenn der hier natürlich nicht existiert, weil sie divergiert.

        
Bezug
Konvergenzradius II: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Fr 09.01.2015
Autor: fred97


> Bestimmen Sie den Konvergenzradius von a)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(2n+1)^2*2^n}[/mm] und b)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n!(x+2)^n}[/mm]
>  
>
> zu a)
>  Bekanntermaßen ist der Kovergenzradius einer unendlichen
> Reihe
>  
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
>  
> [mm]\gdw[/mm]
>  
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+3)^2*2^{n+1}}{(2n+1)^2*2^n}[/mm]
>  
> [mm]\gdw[/mm]
>  
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+3)^2*2^n*2}{(2n+1)^2*2^n}[/mm]
>  
> [mm]\gdw[/mm]
>  
> [mm]r=2*\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+3)^2}{(2n+1)^2}[/mm]
>  
> Wie löse ich den Rest auf?

[mm] \frac{(2n+3)^2}{(2n+1)^2}=(\frac{2n+3}{2n+1})^2 [/mm]


>
>
> Zu b)
>  
> Wie isoliere ich da das x um [mm]a_n[/mm] und [mm]a_{n+1}[/mm] zu bestimmen?

[mm] a_n=n! [/mm]

FRED

>  Die beiden brauche ich ja auf jeden Fall um den
> Konvergenzradius zu bestimmen, auch wenn der hier
> natürlich nicht existiert, weil sie divergiert.


Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius II: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 Fr 09.01.2015
Autor: Morph007

Danke schonmal! Damit kann ich dann ja für b) schonmal sagen, dass die Reihe keine Nullfolge ist und nach dem Wurzelkriterium divergiert.

Bei a) wüsste ich jetzt allerdings trotzdem nicht (viel) weiter:

$ [mm] r=2\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}(\frac{2n+3}{2n+1})^2 [/mm] $

[mm] \gdw [/mm]

$ [mm] r=2\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{2}{(2n+1)})^2 [/mm] $

[mm] \gdw [/mm]

$ [mm] r=2\cdot{}(1+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{(2n+1)})^2 [/mm] $

[mm] \gdw [/mm]

$ [mm] r=2\cdot{}(1+0)^2 [/mm] = 2 $

Ist das so richtig?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius II: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:25 Sa 10.01.2015
Autor: andyv

Hallo,

> Danke schonmal! Damit kann ich dann ja für b) schonmal
> sagen, dass die Reihe keine Nullfolge ist und nach dem
> Wurzelkriterium divergiert.

Nein, so kannst du das nicht sagen.
Da die Folge [mm] $\left(\frac{1}{n+1}\right)$ [/mm] eine Nullfolge ist, ist der Konvergenzradius 0, die Reihe konvergiert also nur im Entwicklungspunkt.

> Bei a) wüsste ich jetzt allerdings trotzdem nicht (viel)
> weiter:
>  
> [mm]r=2\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}(\frac{2n+3}{2n+1})^2[/mm]
>  
> [mm]\gdw[/mm]
>  
> [mm]r=2\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{2}{(2n+1)})^2[/mm]
>  
> [mm]\gdw[/mm]
>  
> [mm]r=2\cdot{}(1+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{(2n+1)})^2[/mm]
>  
> [mm]\gdw[/mm]
>  
> [mm]r=2\cdot{}(1+0)^2 = 2[/mm]
>  
> Ist das so richtig?

Ja.

Liebe Grüße


Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius II: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Sa 10.01.2015
Autor: Morph007

Warum denn $ [mm] \left(\frac{1}{n+1}\right) [/mm] $ ?

Es ist doch $n!$ und nicht $ [mm] \left(\frac{1}{n+1}\right) [/mm] $ oder habe ich da jetzt etwas falsch verstanden?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzradius II: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:39 So 11.01.2015
Autor: andyv

Wenn [mm] $a_n=n!$ [/mm] ist, dann gilt [mm] $\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{1}{n+1}$, [/mm] also [mm] $R=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=0$. [/mm]

Liebe Grüße

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenzradius II: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:46 So 11.01.2015
Autor: Morph007

Danke, das hatte ich natürlich nicht bedacht.

Bezug
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