Konvergenzradius II < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Fr 09.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Konvergenzradius von a) $\summe_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(2n+1)^2*2^n}$ und b) $\summe_{n=1}^{\infty} n!(x+2)^n}$ |
zu a)
Bekanntermaßen ist der Kovergenzradius einer unendlichen Reihe
$r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$
\gdw
$r=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+3)^2*2^{n+1}}{(2n+1)^2*2^n}$
\gdw
$r=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+3)^2*2^n*2}{(2n+1)^2*2^n}$
\gdw
$r=2*\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+3)^2}{(2n+1)^2}$
Wie löse ich den Rest auf?
Zu b)
Wie isoliere ich da das x um $a_n$ und $a_{n+1}$ zu bestimmen?
Die beiden brauche ich ja auf jeden Fall um den Konvergenzradius zu bestimmen, auch wenn der hier natürlich nicht existiert, weil sie divergiert.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Fr 09.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius von a)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(2n+1)^2*2^n}[/mm] und b)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n!(x+2)^n}[/mm]
>
>
> zu a)
> Bekanntermaßen ist der Kovergenzradius einer unendlichen
> Reihe
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+3)^2*2^{n+1}}{(2n+1)^2*2^n}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+3)^2*2^n*2}{(2n+1)^2*2^n}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]r=2*\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+3)^2}{(2n+1)^2}[/mm]
>
> Wie löse ich den Rest auf?
[mm] \frac{(2n+3)^2}{(2n+1)^2}=(\frac{2n+3}{2n+1})^2
[/mm]
>
>
> Zu b)
>
> Wie isoliere ich da das x um [mm]a_n[/mm] und [mm]a_{n+1}[/mm] zu bestimmen?
[mm] a_n=n!
[/mm]
FRED
> Die beiden brauche ich ja auf jeden Fall um den
> Konvergenzradius zu bestimmen, auch wenn der hier
> natürlich nicht existiert, weil sie divergiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Fr 09.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Danke schonmal! Damit kann ich dann ja für b) schonmal sagen, dass die Reihe keine Nullfolge ist und nach dem Wurzelkriterium divergiert.
Bei a) wüsste ich jetzt allerdings trotzdem nicht (viel) weiter:
$ [mm] r=2\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}(\frac{2n+3}{2n+1})^2 [/mm] $
[mm] \gdw
[/mm]
$ [mm] r=2\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{2}{(2n+1)})^2 [/mm] $
[mm] \gdw
[/mm]
$ [mm] r=2\cdot{}(1+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{(2n+1)})^2 [/mm] $
[mm] \gdw
[/mm]
$ [mm] r=2\cdot{}(1+0)^2 [/mm] = 2 $
Ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Sa 10.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Danke schonmal! Damit kann ich dann ja für b) schonmal
> sagen, dass die Reihe keine Nullfolge ist und nach dem
> Wurzelkriterium divergiert.
Nein, so kannst du das nicht sagen.
Da die Folge [mm] $\left(\frac{1}{n+1}\right)$ [/mm] eine Nullfolge ist, ist der Konvergenzradius 0, die Reihe konvergiert also nur im Entwicklungspunkt.
> Bei a) wüsste ich jetzt allerdings trotzdem nicht (viel)
> weiter:
>
> [mm]r=2\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}(\frac{2n+3}{2n+1})^2[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]r=2\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{2}{(2n+1)})^2[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]r=2\cdot{}(1+\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{(2n+1)})^2[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]r=2\cdot{}(1+0)^2 = 2[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Ja.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Warum denn $ [mm] \left(\frac{1}{n+1}\right) [/mm] $ ?
Es ist doch $n!$ und nicht $ [mm] \left(\frac{1}{n+1}\right) [/mm] $ oder habe ich da jetzt etwas falsch verstanden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 So 11.01.2015 | | Autor: | andyv |
Wenn [mm] $a_n=n!$ [/mm] ist, dann gilt [mm] $\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{1}{n+1}$, [/mm] also [mm] $R=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=0$.
[/mm]
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 So 11.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Danke, das hatte ich natürlich nicht bedacht.
|
|
|
|
