Konvergenzradius Potentreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Sa 01.08.2009 | | Autor: | ANTONIO |
| Aufgabe | | Nenne eine Potenzreihe, die für ein bestimmtes z absolut konvergent ist aber einen Konvergenzradius von 0 hat |
Hallo Forenmitglieder,
ich dachte mir, daß es so etwas doch eigentlich geben müßte. Als mögliche Lösung habe ich geprüft [mm] \summe_{i=0}^{\infty} n!z^n [/mm] mit z=0. Nach dem Quotientenkriterium existiert ein [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch {a_{n+1}}{a_n} \right| [/mm] =: q nur für [mm] \left| z \right|= [/mm] 0, mit q=0 da
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch {(n+1)!z^{n+1}}{n!z^n} \right| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left| z \right| [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left| n+1 \right|
[/mm]
Stimmt das so?
Viele Grüße
Antonio
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Hallo Antonio,
> Nenne eine Potenzreihe, die für ein bestimmtes z absolut
> konvergent ist aber einen Konvergenzradius von 0 hat
> Hallo Forenmitglieder,
> ich dachte mir, daß es so etwas doch eigentlich geben
> müßte. Als mögliche Lösung habe ich geprüft
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} n!z^n[/mm] mit z=0. Nach dem
> Quotientenkriterium existiert ein
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch {a_{n+1}}{a_n} \right|[/mm] =: q nur für [mm]\left| z \right|=[/mm] 0, mit q=0 da
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch {(n+1)!z^{n+1}}{n!z^n} \right|[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left| z \right|[/mm] * [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left| n+1 \right|[/mm]
>
> Stimmt das so?
Das Beispiel ist ok, aber dein Schluss ist m.E. nicht so ganz koscher.
Am Ende hast du nämlich für z=0 [mm] $0\cdot{}\infty$ [/mm] dastehen, also einen unbestimmten Ausdruck!
Besser: Für z=0 hast du die Reihe [mm] $\sum n!\cdot{}0^n=\sum [/mm] 0=0$, also ein absolut konvergentes Ding.
Für [mm] $z\neq [/mm] 0$ ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!(z+1)^n}{n!z^n}\right|=|z|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty} (n+1)=|z|\cdot{}\infty=\infty$
[/mm]
Also Divergenz für [mm] $z\neq [/mm] 0$ ..
> Viele Grüße
> Antonio
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Sa 01.08.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo schachuzipus,
danke für Deine Antwort. Das leuchtet mir ein.
Viele Grüße
Antonio
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