Konvergenzradius Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius folgender komplexer Potenzreihe:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{k}}{(1+i)^{k}} [/mm] |
Hallo!
Ich habe mal wieder ein Verständnisproblem.
Und zwar soll ich hierfür den Konvergenzradius bestimmen. Das habe ich auch wie folgt gemacht:
R= [mm] \bruch{1}{\limsup_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|a_{k}|}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\limsup_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|\bruch{1}{(1+i)^k}|}} [/mm] = (1+i).
Wenn ich nun ausreche, für welche z meine Potenzreihe konvergiert, bekomme ich
|z| < (1+i) [mm] \gdw |z|^2 [/mm] < [mm] (1+i)^2=2i, [/mm] also |z| < [mm] \wurzel{2i}.
[/mm]
So weit, so gut. Gebe ich dies nun aber in WolframAlpha ein, so bekomme ich als Lösung {|z| < [mm] \wurzel{2}}, [/mm] also ohne das i.
Jetzt meine Frage. Könnte mir jemand erklären, was es damit auf sich hat? Kann man das i einfach weglassen? HAt das andere Gründe? Oder ist es gar falsch?
Ich hoffe, mir kann das vielleicht jemand erklären.
Viele Grüße, Petrit!
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Hi,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius folgender komplexer
> Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{k}}{(1+i)^{k}}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe mal wieder ein Verständnisproblem.
> Und zwar soll ich hierfür den Konvergenzradius bestimmen.
> Das habe ich auch wie folgt gemacht:
> R=
> [mm]\bruch{1}{\limsup_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|a_{k}|}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{\limsup_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|\bruch{1}{(1+i)^k}|}}[/mm]
> = (1+i).
> Wenn ich nun ausreche, für welche z meine Potenzreihe
> konvergiert, bekomme ich
> |z| < (1+i) [mm]\gdw |z|^2[/mm] < [mm](1+i)^2=2i,[/mm] also |z| <
> [mm]\wurzel{2i}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> So weit, so gut. Gebe ich dies nun aber in WolframAlpha
> ein, so bekomme ich als Lösung {|z| < [mm]\wurzel{2}},[/mm] also
> ohne das i.
> Jetzt meine Frage. Könnte mir jemand erklären, was es
> damit auf sich hat? Kann man das i einfach weglassen? HAt
> das andere Gründe? Oder ist es gar falsch?
nein, also weggelassen wird hier nix. Da bräuchten wir ja gar keine Mathematik, sondern streichen immer einfach etwas raus, was uns nicht passt.
Der Fehler ist doch hier: |z|<(1+i), auf [mm] \IC [/mm] gibt es keine ordnungsrelation. Das macht also gar keinen Sinn, was dort steht.
Der Konvergenzradius ist eine reelle Zahl.
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> Ich hoffe, mir kann das vielleicht jemand erklären.
>
> Viele Grüße, Petrit!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Erstmal danke.
Ich verstehe nun, dass es keine Ordnungsrelation in [mm] \IC [/mm] gibt, da bin ich nur einfach nicht drauf gekommen.
Aber wieso nehme ich dann nicht gleich die 1, sondern quadriere erst und nehme dann die 2 als meine reelle Zahl?
Gruß Petrit!
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Hey,
ja also bedenke halt, dass schon bei der Berechnung von R ein Problem auftaucht. Also sind wir uns einig, dass wir [mm] R=\sqrt{2} [/mm] haben?
Gut, nun suchen wir also alle [mm] z\in\IC [/mm] mit [mm] |z|<\sqrt{2}.
[/mm]
Warum wird nun quadriert? Weil |z| schwer zu handhaben zu ist, denn [mm] |z|=\sqrt{a^2+b^2}, [/mm] und die Wurzel stört für weitere berechnungen.
Wobei sich mir die Frage stellt, warum nun diese Umfornung macht. Denn im Grunde ist die Aufgabe gelöst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Ja, natürlich. Stimmt ja.
Vielen Dank. Ich habe einfach zu umständlich gedacht.
Gruß, Petrit!
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