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| Aufgabe | Bestimmen sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihe
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}\*x^{n}=0+\bruch{3}{3!}\*x+\bruch{6}{5!}\*x^{2}+\bruch{9}{7!}\*x^{3}+\ldots [/mm] |
also mein [mm] a_{n} [/mm] bzw. mein Bildungsgesetz lautet wie folgt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2n+n}{(2n+1)!}\*x^{n}
[/mm]
den Konvergenzradius berechnet man wie folgt:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \right|
[/mm]
Meine Frage ist was ist mein [mm] a_{n} [/mm] bzw. [mm] a_{n+1} [/mm] ?
[mm] a_{n}=\bruch{2n+n}{(2n+1)!}\*\bruch{1}{n} [/mm] ?
und mein [mm] a_{n+1}=\bruch{2(n+1)+n}{(2(n+1)+1)!}\*\bruch{1}{n+1} [/mm] ?
Weil wenn ich damit weiter arbeite bekomm ich nicht wirklich was raus bzw. es kürzt sich nicht viel weg und ich bekomm keinen Radius raus!
Danke
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Hallo Liverpool87,
> Bestimmen sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihe
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> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}\*x^{n}=0+\bruch{3}{3!}\*x+\bruch{6}{5!}\*x^{2}+\bruch{9}{7!}\*x^{3}+\ldots[/mm]
> also mein [mm]a_{n}[/mm] bzw. mein Bildungsgesetz lautet wie
> folgt:
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2n+n}{(2n+1)!}\*x^{n}[/mm]
>
> den Konvergenzradius berechnet man wie folgt:
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \right|[/mm]
>
> Meine Frage ist was ist mein [mm]a_{n}[/mm] bzw. [mm]a_{n+1}[/mm] ?
>
> [mm]a_{n}=\bruch{2n+n}{(2n+1)!}\*\bruch{1}{n}[/mm] ?
>
> und mein
> [mm]a_{n+1}=\bruch{2(n+1)+n}{(2(n+1)+1)!}\*\bruch{1}{n+1}[/mm] ?
>
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> Weil wenn ich damit weiter arbeite bekomm ich nicht
> wirklich was raus bzw. es kürzt sich nicht viel weg und
> ich bekomm keinen Radius raus!
Aufgrund der Gestalt der Potenzreihe ergibt sich:
[mm]a_{n}=\left\{ \begin{matrix} 0 & n=0 \\ \bruch{3^{n}}{\left(2n+1\right)!} & n \ge 1 \end{matrix}\right[/mm]
>
> Danke
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:14 Sa 18.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
das sollte wohl eher heißen: [mm] a_{n}= \bruch{3n}{(2n+1)!} \forall [/mm] n [mm] \in \IN.
[/mm]
Viele Grüße
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du meinst wohl
[mm] \bruch{3n}{\left(2n+1\right)!} [/mm] nicht [mm] 3^{n} [/mm] ?!
und was ist mit dem [mm] x^{n} [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
okay, ich probiere es mal so zu lösen!
[mm] \bruch{\bruch{3n}{(2n+1)!}}{\bruch{3(n+1)}{(2(n+1)+1)!}}
[/mm]
Zwischenrechnungen:
[mm] 3\*(n+1) [/mm] = 3n+3
[mm] (2\*(n+1)+1)! [/mm] = (2n+3)!
[mm] \bruch{3n\*(2n+3)!}{(3n+3)\*(2n+1)!}
[/mm]
[mm] \bruch{3n\*2n!\*(2n+1)\*(2n+2)\*(2n+3)}{(3n+3)\*2n!\*(2n+1)}
[/mm]
kann nun zwei Sachen kürzen, komme jedoch auch nicht wirklich weiter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Liverpool!
> du meinst wohl
> [mm]\bruch{3n}{\left(2n+1\right)!}[/mm] nicht [mm]3^{n}[/mm] ?!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und was ist mit dem [mm]x^{n}[/mm] bzw. [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
Den Bruch verstehe ich nicht. Aber den Term [mm] $x^n$ [/mm] kannst Du bei der Ermittlung des Konvergenzradius' außen vor lassen.
Gruß
Loddar
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> > und was ist mit dem [mm]x^{n}[/mm] bzw. [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
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> Den Bruch verstehe ich nicht. Aber den Term [mm]x^n[/mm] kannst Du
> bei der Ermittlung des Konvergenzradius' außen vor
> lassen.
in einer ähnlichen aufgabe hatten wir [mm] \bruch{x^{n}}{2n} [/mm] stehen, das [mm] a_{n} [/mm] war dann [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
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danke für deine antwort
> Das gibt
> [mm]\frac{3n\cdot{}(2n+2)\cdot{}(2n+3)}{3n+3}=\frac{3n\cdot{}2\cdot{}(n+1)\cdot{}(2n+3)}{3\cdot{}(n+1)}[/mm]
>
> Hier kannst du auch nochmal ausgiebig kürzen.
>
> Was passiert also schlussendlich für [mm]n\to\infty[/mm] ?
>
> Wie ist damit also der Konvergenzradius?
so wie ich das sehe kann man nicht viel mehr kürzen.
es bleibt stehen:
[mm] \bruch{3n\*2\*(2n+3)}{3}
[/mm]
das ausmultipliziert ist:
[mm] 4n^{2}+4
[/mm]
also r = [mm] \infty [/mm] konvergent für [mm] -\infty [/mm] < x < [mm] \infty [/mm]
?
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Hallo nochmal,
> danke für deine antwort
>
> > Das gibt
> >
> [mm]\frac{3n\cdot{}(2n+2)\cdot{}(2n+3)}{3n+3}=\frac{3n\cdot{}2\cdot{}(n+1)\cdot{}(2n+3)}{3\cdot{}(n+1)}[/mm]
> >
> > Hier kannst du auch nochmal ausgiebig kürzen.
> >
> > Was passiert also schlussendlich für [mm]n\to\infty[/mm] ?
> >
> > Wie ist damit also der Konvergenzradius?
>
> so wie ich das sehe kann man nicht viel mehr kürzen.
>
> es bleibt stehen:
> [mm]\bruch{3n\*2\*(2n+3)}{3}[/mm]
Die 3 könntest du auch noch wegballern
>
> das ausmultipliziert ist:
> [mm]4n^{2}+4[/mm]
In etwa, ich komme da auf [mm] $2n(2n+3)=4n^2+6n$
[/mm]
Das spielt aber für den zu berechnenden GW hier keine Rolle
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> also r = [mm]\infty[/mm] konvergent für [mm]-\infty[/mm] < x < [mm]\infty[/mm]
>
> ?
Jo!
LG
schachuzipus
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