www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzradius Potenzreihe
Konvergenzradius Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenzradius Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Mo 01.11.2010
Autor: lakritzstange

Aufgabe
Sei [mm] a_n [/mm] eine reelle oder komplexe Zahlenfolge. Wir untersuchen die hierdurch bestimmte Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n [/mm]
Beweise: Falls [mm] a_n \not= [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt und die Folge [mm] (\vmat{ a_n \\ a_{n+1} }) [/mm] in [mm] \IR [/mm] (mit +/- unendlich) einen Grenzwert besitzt, so ist dieser der Konvergenzradius obiger Potenzreihe.

Hallo,

Könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen?
Ich muss mit dem Quotientenkriterium argumentieren denke ich, mir fehl aber der Ansatz und vor allem wie ich beweise, dass das der Konvergenzradius ist.

Vielen Dank
LG Lakritzstange

        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:29 Mo 01.11.2010
Autor: leduart

Hallo
da steht doch wohl [mm] |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm]
Der Tip ist: Konvergenz der geometrischen Reihe!
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:36 Di 02.11.2010
Autor: lakritzstange

Ja sorry das stimmt. Habe den Bruchstrich vergessen.
Danke schonmal für den Tipp.
Wie soll ich denn das jetzt beweisen? Ich muss ja jetzt zeigen, dass /x/<1 oder und somit die Reihe einen Grenzwert besitzt oder? Aber wie zeige ich , dass das der Konvergenzradius ist?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:35 Di 02.11.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

was weisst du denn über Konvergenzkriterien von Reihen?

Also wann konvergiert denn bspw. die Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}b_k$ [/mm] nach Quotientenkriterium?

Nun wende das Quotientenkriterium mal auf deine Potenzreihe an und stelle nach x um.....

MFG,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:21 Di 02.11.2010
Autor: lakritzstange

Ich weiß ja über das Quotientenkriterium dass [mm] (a_{n+1}/a_{n}) [/mm] kleiner als 1 sein muss, damit die Reihe konvergiert.
Aber hier ist die Folge ja anders rum definiert. Das verstehe ich schon mal nicht.
Kannst du mir das erklären?
Vielen Dank

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Di 02.11.2010
Autor: fred97

Sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ [mm] |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] $=r

So, nun lassen wir das Quotientenkriterium auf die Potenzreihe los:  für x [mm] \ne [/mm] 0

               [mm] $q_n(x):= |\bruch{a_{n+1}x^{n+1}}{a_{n}x^n}| [/mm] =  [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|*|x|$ [/mm]

Fall 1:

r= [mm] \infty. [/mm] dann strebt [mm] (q_n(x)) [/mm] gegen 0, also ist die Potenzreihe in diesem x konvergent. x war beliebig, sommit konvergiert die Potenzreihe in jedem x, hat also Konvergenzradius  [mm] \infty [/mm] = r

Fall 2:

r=0; dann strebt [mm] (q_n(x)) [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] > 1. Die Potenzreihe konvergiert also in keinem x [mm] \ne [/mm] 0, hat also Konvergenzradius 0 =r

Fall 3: 0<r < [mm] \infty. [/mm] Diesen Fall machst Du jetzt mal selbst.



Bezug
                                                
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Di 02.11.2010
Autor: lakritzstange

Vielen Dank schonmal dür deine Hilfe.

Also im 3. Fall strebt [mm] q_n [/mm] (x) ja gegen [mm] /a_n/a_{n+1}/ [/mm] oder? dann ist das auch der Konvergenzradius der Potenreihe.


Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Di 02.11.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Vielen Dank schonmal dür deine Hilfe.
>
> Also im 3. Fall strebt [mm]q_n[/mm] (x) ja gegen [mm]/a_n/a_{n+1}/[/mm] oder?

Nein, wie kann das sein??

Mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r[/mm] ist doch [mm]\lim\limits_{n\to\infty}q(x)=r\cdot{}|x|[/mm] ...


Außerdem: Wieso benutzt du den Formeleditor nicht?

So ist das eine Zumutung zu lesen ...

Betragstriche mache mit "AltGr + <-Taste"

Brüche mit \bruch{a}{b}, das gibt [mm]\bruch{a}{b}[/mm]

> dann ist das auch der Konvergenzradius der Potenreihe.

Letzteres stimmt, der Konvergenzradius ist dann [mm]\frac{1}{r}[/mm]

Kannst du das noch kurz begründen?


LG

schachuzipua


Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:18 Di 02.11.2010
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> > Vielen Dank schonmal dür deine Hilfe.
>  >

> > Also im 3. Fall strebt [mm]q_n[/mm] (x) ja gegen [mm]/a_n/a_{n+1}/[/mm] oder?
>
> Nein, wie kann das sein??
>  
> Mit
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r[/mm]
> ist doch [mm]\lim\limits_{n\to\infty}q(x)=r\cdot{}|x|[/mm] ...


Hallo schachuzipus,

so stimmt das nicht ! Es war  $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $  $ [mm] |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] $=r


Damit konvergiert [mm] (q_n(x)) [/mm] gegen  [mm] \bruch{|x|}{r} [/mm]

Ist dies <1, also |x|<r, so hat man Konvergenz,   ....  etc ...


>  
>
> Außerdem: Wieso benutzt du den Formeleditor nicht?
>  
> So ist das eine Zumutung zu lesen ...
>  
> Betragstriche mache mit "AltGr + <-Taste"
>  
> Brüche mit [mm][code]\bruch{a}{b}[/code],[/mm] das gibt
> [mm]\bruch{a}{b}[/mm]
>  
> > dann ist das auch der Konvergenzradius der Potenreihe.
>  
> Letzteres stimmt, der Konvergenzradius ist dann
> [mm]\frac{1}{r}[/mm]
>  
> Kannst du das noch kurz begründen?
>  
>
> LG
>  
> schachuzipua
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 Di 02.11.2010
Autor: lakritzstange

Danke für den Hinweis mit dem Formeleditor. Normalerweise benutze ich den auch, nur wusste ich nicht wie Betrag und geteilt durch geht sorry.

Also strebt [mm] q_n [/mm] (x) gegen [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] und damit ist dann der Konvergenzradius $ [mm] \frac{1}{r} [/mm] $ weil das der Kehrwert ist von $ [mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r [/mm] $

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Di 02.11.2010
Autor: fred97


> Danke für den Hinweis mit dem Formeleditor. Normalerweise
> benutze ich den auch, nur wusste ich nicht wie Betrag und
> geteilt durch geht sorry.
>  
> Also strebt [mm]q_n[/mm] (x) gegen [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] und damit
> ist dann der Konvergenzradius [mm]\frac{1}{r}[/mm] weil das der
> Kehrwert ist von
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r[/mm]

Nein, schau mal hier:

                 https://matheraum.de/read?i=728747




Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]