Konvergenzradius Taylorreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 So 14.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | | Sei [mm] p(x)=\summe_n=0^\infity a_n z^n [/mm] die Taylorreihe von [mm] f(z)=\bruch{z}{e^z-1} [/mm] in z=1. Bestimmen Sie den Konvergenzradius von p(z), ohne p(z) auszurechnen. |
Normalerweise würde ich hier f(z) um den Entwicklunspunkt 1 entwickeln und anschließend [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] berechnen.
Jedoch heißt es hier, dass p(z) nicht berechnet werden soll. Ich verstehe es so, dass ich hier nicht entwickeln soll. Wie würde es ohne entwickeln funktionieren?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 So 14.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]p(x)=\summe_n=0^\infity a_n z^n[/mm]
Das soll wohl so lauten: [mm]p(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n z^n[/mm]
> die Taylorreihe von
> [mm]f(z)=\bruch{z}{e^z-1}[/mm] in z=1. Bestimmen Sie den
> Kovergenzradius von p(z), ohne p(z) auszurechnen.
>
> Normalerweise würde ich hier f(z) um den Entwicklunspunkt
> 1 entwickeln und anschließend
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
> berechnen.
>
> Jedoch heißt es hier, dass p(z) nicht berechnet werden
> soll. Ich verstehe es so, dass ich hier nicht entwickeln
> soll. Wie würde es ohne entwickeln funktionieren?
Mach Dir zunächst klar, dass f in z=0 eine hebbare Singularität hat und in den Punkten $2 k [mm] \pi [/mm] i$ (k [mm] \in \IZ, [/mm] k [mm] \ne [/mm] 0) Pole erster Ordnung.
f ist also holomorph auf $G:= [mm] \IC \setminus \{ 2 k \pi i: k \in \IZ, k \ne 0 \}$
[/mm]
Nun hattet Ihr einen Satz der besagt, dass der gesuchte Konvergenzradius = dist(0, [mm] \partial [/mm] G) ist.
Edit. es soll ja um z=1 entwickelt werden, also ist der gesuchte Konvergenzradius = dist(1, [mm] \partial [/mm] G)
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 So 14.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Sei [mm]p(x)=\summe_n=0^\infity a_n z^n[/mm]
>
>
> Das soll wohl so lauten: [mm]p(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n z^n[/mm]
>
>
>
> > die Taylorreihe von
> > [mm]f(z)=\bruch{z}{e^z-1}[/mm] in z=1. Bestimmen Sie den
> > Kovergenzradius von p(z), ohne p(z) auszurechnen.
> >
> > Normalerweise würde ich hier f(z) um den Entwicklunspunkt
> > 1 entwickeln und anschließend
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
> > berechnen.
> >
> > Jedoch heißt es hier, dass p(z) nicht berechnet werden
> > soll. Ich verstehe es so, dass ich hier nicht entwickeln
> > soll. Wie würde es ohne entwickeln funktionieren?
>
>
> Mach Dir zunächst klar, dass f in z=0 eine hebbare
> Singularität hat und in den Punkten [mm]2 k \pi i[/mm] (k [mm]\in \IZ,[/mm]
> k [mm]\ne[/mm] 0) Pole erster Ordnung.
>
> f ist also holomorph auf [mm]G:= \IC \setminus \{ 2 k \pi i: k \in \IZ, k \ne 0 \}[/mm]
>
>
> Nun hattet Ihr einen Satz der besagt, dass der gesuchte
> Konvergenzradius = dist(0, [mm]\partial[/mm] G) ist.
stimmt das denn so auch bzgl. der Entwicklungsmitte [mm] $z=1\,$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 So 14.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Sei [mm]p(x)=\summe_n=0^\infity a_n z^n[/mm]
> >
> >
> > Das soll wohl so lauten: [mm]p(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n z^n[/mm]
> >
> >
> >
> > > die Taylorreihe von
> > > [mm]f(z)=\bruch{z}{e^z-1}[/mm] in z=1. Bestimmen Sie den
> > > Kovergenzradius von p(z), ohne p(z) auszurechnen.
> > >
> > > Normalerweise würde ich hier f(z) um den Entwicklunspunkt
> > > 1 entwickeln und anschließend
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
> > > berechnen.
> > >
> > > Jedoch heißt es hier, dass p(z) nicht berechnet werden
> > > soll. Ich verstehe es so, dass ich hier nicht entwickeln
> > > soll. Wie würde es ohne entwickeln funktionieren?
> >
> >
> > Mach Dir zunächst klar, dass f in z=0 eine hebbare
> > Singularität hat und in den Punkten [mm]2 k \pi i[/mm] (k [mm]\in \IZ,[/mm]
> > k [mm]\ne[/mm] 0) Pole erster Ordnung.
> >
> > f ist also holomorph auf [mm]G:= \IC \setminus \{ 2 k \pi i: k \in \IZ, k \ne 0 \}[/mm]
>
> >
> >
> > Nun hattet Ihr einen Satz der besagt, dass der gesuchte
> > Konvergenzradius = dist(0, [mm]\partial[/mm] G) ist.
>
> stimmt das denn so auch bzgl. der Entwicklungsmitte [mm]z=1\,[/mm]?
Hallo Marcel,
ich hatte überlesen, dass die Entwicklungsstelle z=1 sein soll.
In diesem Fall ist der Konvergenzradius = dist(1, [mm]\partial[/mm] G)
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 So 14.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Vielen Dank für die Antwort.
Meinst du mit [mm] \partial [/mm] G die erste Polstelle?
Also wäre dann [mm] dist(1,\partial G)=|2\pi i|-1=2\pi-1?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 So 14.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die Antwort.
> Meinst du mit [mm]\partial[/mm] G die erste Polstelle?
Ja
> Also wäre dann [mm]dist(1,\partial G)=|2\pi i|-1=2\pi-1?[/mm]
Nein, sondern $|2 [mm] \pi [/mm] i -1 |$
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Mo 15.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die Antwort.
> Meinst du mit [mm]\partial[/mm] G die erste Polstelle?
[mm] $\partial [/mm] G$ ist der Rand von [mm] $G\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 So 14.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Normalerweise würde ich hier f(z) um den Entwicklunspunkt
> 1 entwickeln und anschließend
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm]
> berechnen.
besser setzt man den Konvergenzradius meist mit
[mm] $1/\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}$
[/mm]
an!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 So 14.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Allerdings habe ich [mm] a_n [/mm] ja nicht. und ich soll es auch nicht berechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Mo 15.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Allerdings habe ich [mm]a_n[/mm] ja nicht. und ich soll es auch
> nicht berechnen.
ich wollte nur drauf hinweisen, dass Deine Formel zur Berechnung des
Konvergenzradius nicht immer funktionieren wird!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
